Вопросы?, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - страница 85.

Условие.

1. В каких случаях говорят, что надо решить систему неравенств?

2. С помощью какого символа записывают систему неравенств?

3. Что называют решением системы неравенств с одной переменной?

4. Что означает решить систему неравенств?

5. Опишите алгоритм решения системы неравенств.

6. Как записывают, читают, называют и изображают промежуток, являющийся множеством решений неравенства вида: $a \le x \le b$; $a < x < b$; $a < x \le b$; $a \le x < b$?

7. В каких случаях говорят, что надо решить совокупность неравенств?

Решение.

1. В каких случаях говорят, что надо решить систему неравенств?
О необходимости решить систему неравенств говорят тогда, когда требуется найти значения переменной, которые удовлетворяют одновременно нескольким условиям. Каждое из этих условий задается в виде неравенства. Иными словами, нужно найти общее решение для двух или более неравенств, то есть найти пересечение их множеств решений.
Ответ: Решить систему неравенств необходимо, когда нужно найти значения переменной, удовлетворяющие всем заданным неравенствам одновременно.

2. С помощью какого символа записывают систему неравенств?
Систему неравенств записывают с помощью фигурной скобки `{`. Неравенства, входящие в систему, записывают в столбик, а слева от них ставят одну общую фигурную скобку. Например:
$ \begin{cases} x > 5 \\ x < 10 \end{cases} $
Этот символ означает логическую связку "И", то есть должны выполняться все условия.
Ответ: Систему неравенств записывают с помощью символа фигурной скобки `{`.

3. Что называют решением системы неравенств с одной переменной?
Решением системы неравенств с одной переменной называется такое значение переменной, при подстановке которого каждое из неравенств системы превращается в верное числовое неравенство.
Ответ: Значение переменной, которое является решением каждого неравенства системы.

4. Что означает решить систему неравенств?
Решить систему неравенств — это значит найти множество всех её решений или доказать, что решений не существует (множество решений пустое). Множество решений системы неравенств является пересечением множеств решений каждого из неравенств, входящих в эту систему.
Ответ: Найти все значения переменной, которые удовлетворяют каждому неравенству системы, или установить, что таких значений нет.

5. Опишите алгоритм решения системы неравенств.
Алгоритм решения системы неравенств с одной переменной состоит из следующих шагов:

1. Решить каждое неравенство системы по отдельности, найдя множество его решений.
2. Изобразить множества решений каждого неравенства на одной числовой прямой. Для каждого неравенства используется своя штриховка.
3. Найти пересечение этих множеств — общую часть, где все штриховки совпадают. Эта общая часть и будет множеством решений системы.
4. Записать ответ в виде числового промежутка или объединения промежутков. Если общей части нет, то система не имеет решений.

Ответ: Алгоритм включает в себя решение каждого неравенства по отдельности, изображение их решений на числовой прямой и нахождение пересечения этих решений.

6. Как записывают, читают, называют и изображают промежуток, являющийся множеством решений неравенства вида: $a \le x \le b$; $a < x < b$; $a < x \le b$; $a \le x < b$?

• Для двойного неравенства $a \le x \le b$:
  • Запись: $[a; b]$
  • Чтение: Промежуток от $a$ до $b$, включая $a$ и $b$.
  • Название: Числовой отрезок.
  • Изображение: На числовой прямой отмечают точки $a$ и $b$ закрашенными кружками, а область между ними штрихуют.
• Для двойного неравенства $a < x < b$:
  • Запись: $(a; b)$
  • Чтение: Промежуток от $a$ до $b$, не включая $a$ и $b$.
  • Название: Интервал.
  • Изображение: На числовой прямой отмечают точки $a$ и $b$ пустыми (выколотыми) кружками, а область между ними штрихуют.
• Для двойного неравенства $a < x \le b$:
  • Запись: $(a; b]$
  • Чтение: Промежуток от $a$ до $b$, не включая $a$, но включая $b$.
  • Название: Полуинтервал.
  • Изображение: На числовой прямой точку $a$ отмечают выколотым кружком, а точку $b$ — закрашенным, и штрихуют область между ними.
• Для двойного неравенства $a \le x < b$:
  • Запись: $[a; b)$
  • Чтение: Промежуток от $a$ до $b$, включая $a$, но не включая $b$.
  • Название: Полуинтервал.
  • Изображение: На числовой прямой точку $a$ отмечают закрашенным кружком, а точку $b$ — выколотым, и штрихуют область между ними.

Ответ: В зависимости от строгости неравенств, промежутки записываются с помощью круглых или квадратных скобок, называются отрезком, интервалом или полуинтервалом и изображаются на числовой прямой с закрашенными или выколотыми точками на концах.

7. В каких случаях говорят, что надо решить совокупность неравенств?
О необходимости решить совокупность неравенств говорят тогда, когда требуется найти значения переменной, которые удовлетворяют хотя бы одному из нескольких заданных условий (неравенств). Решением совокупности является объединение множеств решений каждого из неравенств, входящих в нее. Совокупность неравенств часто записывают с помощью квадратной скобки `[`, что означает логическую связку "ИЛИ".
Ответ: Решить совокупность неравенств необходимо, когда нужно найти значения переменной, удовлетворяющие хотя бы одному из заданных неравенств.