Номер 10.41, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.41, страница 79.

Условие.

10.41. Для каждого значения параметра a решите неравенство:

1) $a^2x \le 0;$

2) $(a+4)x > 1;$

3) $a+x < 2-ax.$

Решение.

1) $a^2x \le 0$

Данное неравенство является линейным относительно переменной $x$. Решение зависит от знака коэффициента при $x$, который равен $a^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $a^2 \ge 0$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: коэффициент $a^2 = 0$.

Это возможно только при $a=0$. Подставим это значение в исходное неравенство:

$0^2 \cdot x \le 0$

$0 \cdot x \le 0$

$0 \le 0$

Получилось верное числовое равенство, которое не зависит от $x$. Следовательно, при $a=0$ неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.

Случай 2: коэффициент $a^2 > 0$.

Это условие выполняется для всех $a \ne 0$. Так как $a^2$ — положительное число, мы можем разделить обе части неравенства на $a^2$, сохранив знак неравенства:

$\frac{a^2x}{a^2} \le \frac{0}{a^2}$

$x \le 0$

Следовательно, при $a \ne 0$ решением неравенства является промежуток $(-\infty, 0]$.

Ответ: если $a = 0$, то $x \in \mathbb{R}$ (любое число); если $a \ne 0$, то $x \le 0$.

2) $(a+4)x > 1$

Это линейное неравенство, решение которого зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $a+4$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: коэффициент $a+4 > 0$, то есть $a > -4$.

Разделим обе части неравенства на положительное число $a+4$, знак неравенства при этом сохраняется:

$x > \frac{1}{a+4}$

Случай 2: коэффициент $a+4 < 0$, то есть $a < -4$.

Разделим обе части неравенства на отрицательное число $a+4$, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{1}{a+4}$

Случай 3: коэффициент $a+4 = 0$, то есть $a = -4$.

Подставим $a=-4$ в исходное неравенство:

$( -4 + 4)x > 1$

$0 \cdot x > 1$

$0 > 1$

Получилось неверное числовое неравенство. Это означает, что при $a=-4$ неравенство не имеет решений.

Ответ: если $a > -4$, то $x > \frac{1}{a+4}$; если $a < -4$, то $x < \frac{1}{a+4}$; если $a = -4$, то решений нет.

3) $a + x < 2 - ax$

Сначала преобразуем неравенство, собрав все слагаемые с $x$ в левой части, а остальные — в правой:

$x + ax < 2 - a$

Вынесем $x$ за скобки:

$(1+a)x < 2 - a$

Теперь это линейное неравенство. Его решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $1+a$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: коэффициент $1+a > 0$, то есть $a > -1$.

Разделим обе части неравенства на положительное число $1+a$, знак неравенства сохраняется:

$x < \frac{2-a}{1+a}$

Случай 2: коэффициент $1+a < 0$, то есть $a < -1$.

Разделим обе части неравенства на отрицательное число $1+a$, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{2-a}{1+a}$

Случай 3: коэффициент $1+a = 0$, то есть $a = -1$.

Подставим $a=-1$ в преобразованное неравенство $(1+a)x < 2 - a$:

$(1 + (-1))x < 2 - (-1)$

$0 \cdot x < 3$

$0 < 3$

Получилось верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Следовательно, при $a=-1$ неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: если $a > -1$, то $x < \frac{2-a}{1+a}$; если $a < -1$, то $x > \frac{2-a}{1+a}$; если $a = -1$, то $x \in \mathbb{R}$ (любое число).