Номер 10.38, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.38, страница 79.

Условие.

10.38. Существует ли такое значение параметра a, при котором не имеет решений неравенство (в случае утвердительного ответа укажите это значение):

1) $ax > 3x + 4$;

2) $(a^2 + a) x \le a$?

Решение.

1) $ax > 3x + 4$

Перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть неравенства, а остальные — в правую:

$ax - 3x > 4$

Вынесем $x$ за скобки:

$(a - 3)x > 4$

Это линейное неравенство вида $kx > b$, где $k = a - 3$ и $b = 4$. Неравенство не имеет решений только в одном случае: когда коэффициент при $x$ равен нулю, а само неравенство при этом становится неверным.

Приравняем коэффициент при $x$ к нулю:

$a - 3 = 0$

$a = 3$

Подставим это значение $a$ в неравенство:

$(3 - 3)x > 4$

$0 \cdot x > 4$

$0 > 4$

Полученное неравенство является неверным. Это означает, что при $a = 3$ исходное неравенство не имеет решений ни при каком значении $x$.

При $a \ne 3$ (то есть $a-3 \ne 0$) неравенство всегда будет иметь решения: $x > \frac{4}{a-3}$ при $a > 3$ и $x < \frac{4}{a-3}$ при $a < 3$.

Таким образом, существует значение параметра $a$, при котором неравенство не имеет решений.

Ответ: да, существует, $a = 3$.

2) $(a^2 + a)x \le a$

Это линейное неравенство вида $kx \le b$, где $k = a^2 + a$ и $b = a$. Неравенство не имеет решений, если коэффициент при $x$ равен нулю, а неравенство при этом становится неверным.

Приравняем коэффициент при $x$ к нулю:

$a^2 + a = 0$

$a(a + 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $a_1 = 0$ и $a_2 = -1$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $a = 0$.

Подставим $a = 0$ в исходное неравенство:

$(0^2 + 0)x \le 0$

$0 \cdot x \le 0$

$0 \le 0$

Это неравенство верно при любом значении $x$. Следовательно, при $a = 0$ решением является любое действительное число.

Случай 2: $a = -1$.

Подставим $a = -1$ в исходное неравенство:

$((-1)^2 + (-1))x \le -1$

$(1 - 1)x \le -1$

$0 \cdot x \le -1$

$0 \le -1$

Это неравенство является неверным. Значит, при $a = -1$ исходное неравенство не имеет решений.

Таким образом, существует значение параметра $a$, при котором неравенство не имеет решений.

Ответ: да, существует, $a = -1$.