Номер 10.37, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.37, страница 79.

Условие.

10.37. При каких значениях параметра m уравнение:

1) $2 + 4x = m - 6$ имеет неотрицательный корень;

2) $mx = m^2 - 7m$ имеет единственный отрицательный корень?

Решение.

1)

Дано линейное уравнение $2 + 4x = m - 6$. Требуется найти значения параметра $m$, при которых корень этого уравнения является неотрицательным, то есть $x \ge 0$.

Сначала выразим $x$ из уравнения:

$4x = m - 6 - 2$

$4x = m - 8$

$x = \frac{m - 8}{4}$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в неравенство $x \ge 0$:

$\frac{m - 8}{4} \ge 0$

Так как знаменатель дроби $4$ является положительным числом, то знак дроби зависит только от знака числителя. Следовательно, неравенство равносильно следующему:

$m - 8 \ge 0$

$m \ge 8$

Таким образом, уравнение имеет неотрицательный корень при значениях параметра $m$, принадлежащих промежутку $[8; +\infty)$.

Ответ: при $m \ge 8$.

2)

Дано уравнение $mx = m^2 - 7m$. Требуется найти значения параметра $m$, при которых уравнение имеет единственный отрицательный корень.

Это уравнение вида $ax = b$, где $a = m$ и $b = m^2 - 7m$. Количество корней зависит от значения коэффициента при $x$, то есть от $m$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $m = 0$.

Подставим $m = 0$ в исходное уравнение:

$0 \cdot x = 0^2 - 7 \cdot 0$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого действительного числа $x$. Следовательно, при $m = 0$ уравнение имеет бесконечно много корней, что не соответствует условию о единственном корне.

Случай 2: $m \neq 0$.

При $m \neq 0$ уравнение имеет единственный корень. Чтобы его найти, разделим обе части уравнения на $m$:

$x = \frac{m^2 - 7m}{m}$

Вынесем $m$ за скобки в числителе и сократим дробь:

$x = \frac{m(m - 7)}{m}$

$x = m - 7$

По условию задачи, этот единственный корень должен быть отрицательным, то есть $x < 0$.

Составим и решим неравенство:

$m - 7 < 0$

$m < 7$

Таким образом, для выполнения условия задачи необходимо, чтобы одновременно выполнялись два условия: $m \neq 0$ и $m < 7$.

Объединяя эти условия, получаем, что $m$ может быть любым числом из промежутка $(-\infty; 7)$, за исключением $0$.

Ответ: при $m \in (-\infty; 0) \cup (0; 7)$.