Номер 10.36, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.36, страница 79.

Условие.

10.36. При каких значениях параметра $a$ уравнение:

1) $4x + a = 2$ имеет положительный корень;

2) $(a + 6) x = 3$ имеет отрицательный корень;

3) $(a - 1) x = a^2 - 1$ имеет единственный положительный корень?

Решение.

1) Дано уравнение $4x + a = 2$. Чтобы найти, при каких значениях параметра $a$ это уравнение имеет положительный корень, сначала выразим $x$ через $a$.

Перенесем $a$ в правую часть уравнения:

$4x = 2 - a$

Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2 - a}{4}$

По условию, корень уравнения должен быть положительным, то есть $x > 0$. Подставим выражение для $x$ в это неравенство:

$\frac{2 - a}{4} > 0$

Так как знаменатель 4 является положительным числом, для выполнения неравенства необходимо, чтобы числитель был также положительным:

$2 - a > 0$

Перенесем $a$ в правую часть неравенства:

$2 > a$

Или, что то же самое:

$a < 2$

Таким образом, уравнение имеет положительный корень при всех значениях $a$, меньших 2.

Ответ: $a < 2$.

2) Дано уравнение $(a + 6)x = 3$. Чтобы найти, при каких значениях параметра $a$ это уравнение имеет отрицательный корень, рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x$ равен нулю.

$a + 6 = 0 \implies a = -6$

В этом случае уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3$, то есть $0 = 3$. Это неверное равенство, следовательно, при $a = -6$ уравнение не имеет корней.

Случай 2: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

$a + 6 \neq 0 \implies a \neq -6$

В этом случае мы можем выразить $x$:

$x = \frac{3}{a + 6}$

По условию, корень должен быть отрицательным, то есть $x < 0$.

$\frac{3}{a + 6} < 0$

Числитель дроби (3) является положительным числом. Чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным:

$a + 6 < 0$

Решаем это неравенство:

$a < -6$

Таким образом, уравнение имеет отрицательный корень при всех значениях $a$, меньших -6.

Ответ: $a < -6$.

3) Дано уравнение $(a - 1)x = a^2 - 1$. Требуется найти значения параметра $a$, при которых уравнение имеет единственный положительный корень.

Разложим правую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$.

Уравнение принимает вид:

$(a - 1)x = (a - 1)(a + 1)$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x$ равен нулю.

$a - 1 = 0 \implies a = 1$

Подставим $a = 1$ в исходное уравнение:

$(1 - 1)x = 1^2 - 1$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого значения $x$. Следовательно, при $a = 1$ уравнение имеет бесконечно много корней, что не удовлетворяет условию о единственном корне.

Случай 2: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

$a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a - 1)$:

$x = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - 1}$

$x = a + 1$

При $a \neq 1$ уравнение имеет единственный корень $x = a + 1$. Теперь нужно, чтобы этот корень был положительным:

$x > 0$

$a + 1 > 0$

$a > -1$

Итак, мы имеем два условия, которые должны выполняться одновременно: $a \neq 1$ и $a > -1$.

Объединяя эти условия, получаем, что $a$ должно быть больше -1, но не равно 1. Это можно записать в виде объединения интервалов: $a \in (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $a > -1$ и $a \neq 1$.