Номер 10.29, страница 78 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.29, страница 78.

Условие.

10.29. Какие из неравенств являются следствиями неравенства $1 - 3x > 0$:

1) $x > \frac{1}{3}$;

2) $x < \frac{1}{3}$;

3) $x \le \frac{1}{3}$;

4) $x < \frac{1}{4}$;

5) $x < \frac{2}{5}$?

Решение.

Чтобы определить, какие из неравенств являются следствиями, сначала решим исходное неравенство:

$1 - 3x > 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$-3x > -1$

Разделим обе части на -3. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-1}{-3}$

$x < \frac{1}{3}$

Итак, решением исходного неравенства является множество всех чисел $x$, которые строго меньше $\frac{1}{3}$, то есть интервал $(-\infty; \frac{1}{3})$.

Неравенство Б является следствием неравенства А, если множество решений неравенства А является подмножеством множества решений неравенства Б. То есть, если любое число, удовлетворяющее неравенству $x < \frac{1}{3}$, также удовлетворяет и проверяемому неравенству.

Теперь проанализируем каждое из предложенных неравенств.

1) $x > \frac{1}{3}$

Множество решений этого неравенства — $(\frac{1}{3}; \infty)$. Множество решений исходного неравенства $(-\infty; \frac{1}{3})$ не является подмножеством множества $(\frac{1}{3}; \infty)$. Эти множества не пересекаются. Следовательно, это неравенство не является следствием.

Ответ: не является следствием.

2) $x < \frac{1}{3}$

Множество решений этого неравенства — $(-\infty; \frac{1}{3})$. Оно в точности совпадает с множеством решений исходного неравенства. Так как любое множество является своим подмножеством, это неравенство является следствием (оно равносильно исходному).

Ответ: является следствием.

3) $x \le \frac{1}{3}$

Множество решений этого неравенства — $(-\infty; \frac{1}{3}]$. Множество $(-\infty; \frac{1}{3})$ является подмножеством множества $(-\infty; \frac{1}{3}]$, так как любое число, строго меньшее $\frac{1}{3}$, также удовлетворяет условию "меньше или равно $\frac{1}{3}$". Следовательно, это неравенство является следствием.

Ответ: является следствием.

4) $x < \frac{1}{4}$

Множество решений этого неравенства — $(-\infty; \frac{1}{4})$. Сравним числа $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$. Поскольку $3 < 4$, то $\frac{1}{3} > \frac{1}{4}$. Это означает, что множество $(-\infty; \frac{1}{3})$ не является подмножеством $(-\infty; \frac{1}{4})$. Например, число $x = 0.3$ удовлетворяет исходному неравенству ($0.3 < \frac{1}{3}$), но не удовлетворяет этому неравенству, так как $0.3 > \frac{1}{4}$ ($0.25$). Следовательно, это неравенство не является следствием.

Ответ: не является следствием.

5) $x < \frac{2}{5}$

Множество решений этого неравенства — $(-\infty; \frac{2}{5})$. Сравним числа $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{5}$. Приведем дроби к общему знаменателю 15: $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$ и $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$. Так как $\frac{5}{15} < \frac{6}{15}$, то $\frac{1}{3} < \frac{2}{5}$. Любое число, которое меньше $\frac{1}{3}$, будет также меньше и $\frac{2}{5}$. Таким образом, множество $(-\infty; \frac{1}{3})$ является подмножеством множества $(-\infty; \frac{2}{5})$. Следовательно, это неравенство является следствием.

Ответ: является следствием.