Номер 10.22, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.22, страница 77.

Условие.

10.22. Сколько натуральных решений имеет неравенство

$\frac{2-3x}{4} \geq \frac{1}{5} - \frac{5x+6}{8}$?

Решение.

Для решения неравенства $ \frac{2 - 3x}{4} \ge \frac{1}{5} - \frac{5x + 6}{8} $ необходимо привести его к более простому виду. Сначала избавимся от знаменателей, умножив обе части неравенства на наименьшее общее кратное (НОК) чисел 4, 5 и 8. НОК(4, 5, 8) = 40. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства не меняется.

$$ 40 \cdot \left( \frac{2 - 3x}{4} \right) \ge 40 \cdot \left( \frac{1}{5} - \frac{5x + 6}{8} \right) $$

Выполнив умножение, получаем:

$$ 10(2 - 3x) \ge 8 - 5(5x + 6) $$

Далее, раскроем скобки:

$$ 20 - 30x \ge 8 - 25x - 30 $$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$$ 20 - 30x \ge -22 - 25x $$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$$ -30x + 25x \ge -22 - 20 $$

$$ -5x \ge -42 $$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -5. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$$ x \le \frac{-42}{-5} $$

$$ x \le 8.4 $$

В задаче требуется найти количество натуральных решений. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Нам нужно найти все натуральные числа, которые меньше или равны 8.4. Такими числами являются:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Подсчитав их, получаем, что всего 8 натуральных решений.

Ответ: 8