Номер 10.21, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.21, страница 77.

Условие.

10.21. Сколько целых отрицательных решений имеет неравенство

$x - \frac{x+7}{4} - \frac{11x+30}{12} < \frac{x-5}{3}$

Решение.

Для решения неравенства необходимо избавиться от дробей. Для этого найдем наименьший общий знаменатель для чисел 4, 12 и 3. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12. Умножим обе части неравенства на 12:

$12 \cdot \left( x - \frac{x+7}{4} - \frac{11x+30}{12} \right) < 12 \cdot \left( \frac{x-5}{3} \right)$

$12x - \frac{12(x+7)}{4} - \frac{12(11x+30)}{12} < \frac{12(x-5)}{3}$

Выполним сокращения:

$12x - 3(x+7) - (11x+30) < 4(x-5)$

Теперь раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$12x - 3x - 21 - 11x - 30 < 4x - 20$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(12x - 3x - 11x) + (-21 - 30) < 4x - 20$

$-2x - 51 < 4x - 20$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части неравенства, а свободные члены — в другой. Перенесем $-2x$ вправо, а $-20$ влево, изменив их знаки:

$-51 + 20 < 4x + 2x$

$-31 < 6x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства сохранится:

$x > -\frac{31}{6}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число для удобства:

$x > -5\frac{1}{6}$

Согласно условию задачи, нам нужно найти количество целых отрицательных решений. Это целые числа, которые больше, чем $-5\frac{1}{6}$, но меньше нуля. Перечислим эти числа:

-5, -4, -3, -2, -1.

Всего таких решений 5.

Ответ: 5.