Номер 10.23, страница 78 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.23, страница 78.

Условие.

10.23. При каких значениях x верно равенство:

1) $ \vert x - 5 \vert = x - 5; $

2) $ \vert 2x + 14 \vert = -2x - 14? $

Решение.

1)

Данное равенство $|x - 5| = x - 5$ соответствует общей форме $|a| = a$.

По определению абсолютной величины (модуля), равенство $|a| = a$ выполняется только в том случае, когда выражение под знаком модуля является неотрицательным, то есть $a \ge 0$.

Применительно к нашему случаю, это означает, что выражение $x - 5$ должно быть больше или равно нулю:

$x - 5 \ge 0$

Чтобы решить это неравенство, прибавим 5 к обеим его частям:

$x \ge 5$

Таким образом, исходное равенство верно для всех значений $x$, которые принадлежат промежутку $[5; +\infty)$.

Ответ: $x \in [5; +\infty)$.

2)

Рассмотрим равенство $|2x + 14| = -2x - 14$.

Заметим, что правая часть равенства представляет собой выражение, противоположное подмодульному выражению: $-2x - 14 = -(2x + 14)$.

Тогда равенство можно переписать в виде $|2x + 14| = -(2x + 14)$. Это соответствует общей форме $|a| = -a$.

По определению модуля, равенство $|a| = -a$ выполняется только в том случае, когда выражение под знаком модуля является неположительным, то есть $a \le 0$.

Применительно к нашему случаю, это означает, что выражение $2x + 14$ должно быть меньше или равно нулю:

$2x + 14 \le 0$

Чтобы решить это неравенство, сначала вычтем 14 из обеих его частей:

$2x \le -14$

Теперь разделим обе части на 2:

$x \le -7$

Таким образом, исходное равенство верно для всех значений $x$, которые принадлежат промежутку $(-\infty; -7]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7]$.