Номер 10.30, страница 78 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.30, страница 78.

Условие.

10.30. Решите неравенство:

1) $(x+2)^2 > 0;$

2) $(x+2)^2 \le 0;$

3) $\frac{x+2}{x+2} > \frac{2}{3};$

4) $\left(\frac{x+2}{x-2}\right)^2 > 0;$

5) $\left(\frac{x+2}{x-2}\right)^2 \ge 0;$

6) $|x| > -1;$

7) $|x^2 - 3x - 2| < -1;$

8) $\left|\frac{1}{x+3}\right| > -2;$

9) $|x^2 - 4| \le 0;$

10) $|x| \ge -x^2;$

11) $|x| > -x^2;$

12) $|x| > x;$

13) $|x| \ge -x;$

14) $\frac{|x|}{x} \ge 1;$

15) $|x| - x \ge -x^2.$

Решение.

1) $(x+2)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x+2)^2 \ge 0$. Неравенство является строгим, поэтому необходимо исключить случай, когда выражение равно нулю.

$(x+2)^2 = 0$ при $x+2=0$, то есть при $x=-2$.

Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x=-2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2) $(x+2)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, $(x+2)^2 \ge 0$. Таким образом, выражение не может быть строго меньше нуля. Неравенство может выполняться только в случае равенства нулю.

$(x+2)^2 = 0$ при $x+2=0$, то есть при $x=-2$.

Ответ: $x = -2$.

3) $\frac{x+2}{x+2} > \frac{2}{3}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x+2 \ne 0$, откуда $x \ne -2$.

При всех $x$ из ОДЗ дробь $\frac{x+2}{x+2}$ равна 1. Неравенство принимает вид $1 > \frac{2}{3}$, что является верным числовым неравенством.

Следовательно, решение неравенства совпадает с его ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

4) $(\frac{x+2}{x-2})^2 > 0$

Квадрат выражения больше нуля тогда и только тогда, когда само выражение не равно нулю и определено.

Выражение определено, когда знаменатель не равен нулю: $x-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$.

Выражение равно нулю, когда числитель равен нулю: $x+2=0 \Rightarrow x=-2$.

Таким образом, нужно исключить точки $x=2$ и $x=-2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

5) $(\frac{x+2}{x-2})^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Поэтому неравенство выполняется для всех значений $x$, при которых выражение имеет смысл.

Выражение не определено, когда знаменатель равен нулю: $x-2=0 \Rightarrow x=2$. Эту точку нужно исключить.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

6) $|x| > -1$

Модуль (абсолютная величина) любого действительного числа по определению неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$.

Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа. Так как $-1 < 0$, неравенство $|x| > -1$ верно для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

7) $|x^2 - 3x - 2| < -1$

Модуль любого выражения является неотрицательным числом. Неравенство утверждает, что неотрицательное число меньше отрицательного числа ($-1$), что невозможно.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: Нет решений.

8) $|\frac{1}{x+3}| > -2$

Модуль любого выражения является неотрицательным, если это выражение определено. Неотрицательное число всегда больше отрицательного числа ($-2$).

Следовательно, неравенство верно для всех $x$, при которых выражение под модулем определено. Выражение не определено, когда знаменатель равен нулю: $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

9) $|x^2 - 4| \le 0$

Модуль любого выражения является неотрицательным, поэтому он не может быть меньше нуля. Неравенство может выполняться только в случае равенства нулю.

$|x^2 - 4| = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4$.

Отсюда $x=2$ или $x=-2$.

Ответ: $x = -2; x = 2$.

10) $|x| \ge -x^2$

Рассмотрим левую и правую части неравенства. Левая часть, $|x|$, всегда неотрицательна: $|x| \ge 0$. Правая часть, $-x^2$, всегда неположительна, так как $x^2 \ge 0$.

Любое неотрицательное число всегда больше или равно любому неположительному числу. Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

11) $|x| > -x^2$

Как и в предыдущем задании, $|x| \ge 0$ и $-x^2 \le 0$. Неравенство $|x| > -x^2$ будет неверным только в том случае, если обе части равны, то есть $|x| = -x^2 = 0$. Это происходит только при $x=0$. В этом случае неравенство принимает вид $0 > 0$, что ложно.

Во всех остальных случаях ($x \ne 0$) имеем $|x| > 0$ и $-x^2 < 0$, и неравенство $|x| > -x^2$ будет верным. Таким образом, решением являются все действительные числа, кроме $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

12) $|x| > x$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x|=x$. Неравенство принимает вид $x > x$, что неверно ни при каком $x$. В этом случае решений нет.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x|=-x$. Неравенство принимает вид $-x > x$, что эквивалентно $0 > 2x$, или $x < 0$. Это условие совпадает с условием рассматриваемого случая ($x < 0$).

Объединяя результаты, получаем, что неравенство верно для всех $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

13) $|x| \ge -x$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x|=x$. Неравенство принимает вид $x \ge -x$, что эквивалентно $2x \ge 0$, или $x \ge 0$. Все значения $x \ge 0$ являются решениями.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x|=-x$. Неравенство принимает вид $-x \ge -x$, что эквивалентно $0 \ge 0$. Это верное тождество, значит все значения $x < 0$ являются решениями.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем, что неравенство верно для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

14) $\frac{|x|}{x} \ge 1$

ОДЗ: $x \ne 0$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x > 0$. Тогда $|x|=x$. Неравенство принимает вид $\frac{x}{x} \ge 1$, то есть $1 \ge 1$. Это верно для всех $x > 0$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x|=-x$. Неравенство принимает вид $\frac{-x}{x} \ge 1$, то есть $-1 \ge 1$. Это неверно.

Таким образом, решением является интервал $x > 0$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

15) $|x| - x \ge -x^2$

Перенесем $x$ в правую часть: $|x| \ge x - x^2$. Раскроем модуль.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x|=x$. Неравенство принимает вид $x \ge x - x^2$. Это упрощается до $0 \ge -x^2$, что эквивалентно $x^2 \ge 0$. Это неравенство верно для всех действительных чисел, а значит и для всех $x \ge 0$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x|=-x$. Неравенство принимает вид $-x \ge x - x^2$. Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - 2x \ge 0$. Разложим на множители: $x(x-2) \ge 0$. Решением этого квадратного неравенства являются $x \in (-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$. Учитывая условие этого случая ($x < 0$), получаем $x < 0$.

Объединяя решения из обоих случаев ($x \ge 0$ и $x < 0$), получаем, что неравенство верно для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.