Номер 10.34, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.34, страница 79.

Условие.

10.34. Постройте график функции:

1) $y = |x - 2|$;

2) $y = |x + 3| - 1$;

3) $y = |x - 1| + x.$

Решение.

1) Построить график функции $y = |x - 2|$.

График этой функции можно построить двумя способами.

Способ 1: С помощью геометрических преобразований.

График функции $y = |x - 2|$ получается из графика функции $y = |x|$ путем сдвига вдоль оси абсцисс (оси Ox) на 2 единицы вправо. График $y = |x|$ представляет собой две биссектрисы первого и второго координатных углов, образующие "галочку" с вершиной в точке $(0, 0)$. Соответственно, график $y = |x - 2|$ будет такой же "галочкой", но с вершиной в точке $(2, 0)$.

Способ 2: Раскрытие модуля.

По определению модуля:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Применим это определение к нашей функции:

$y = |x - 2| = \begin{cases} x - 2, & \text{если } x - 2 \ge 0, \text{ то есть } x \ge 2 \\ -(x - 2), & \text{если } x - 2 < 0, \text{ то есть } x < 2 \end{cases}$

Упростив второе выражение, получаем систему:

$y = \begin{cases} x - 2, & \text{при } x \ge 2 \\ -x + 2, & \text{при } x < 2 \end{cases}$

Таким образом, для построения графика нужно:

1. Нарисовать график прямой $y = x - 2$ для всех $x \ge 2$. Это луч, выходящий из точки $(2, 0)$ и проходящий, например, через точку $(3, 1)$.

2. Нарисовать график прямой $y = -x + 2$ для всех $x < 2$. Это луч, выходящий из точки $(2, 0)$ и проходящий, например, через точку $(0, 2)$.

В результате получается график, состоящий из двух лучей, выходящих из точки $(2, 0)$.

Ответ: График функции $y = |x - 2|$ — это "галочка", вершина которой находится в точке $(2, 0)$. Ветви направлены вверх. При $x \ge 2$ график совпадает с прямой $y = x - 2$, а при $x < 2$ — с прямой $y = -x + 2$.

2) Построить график функции $y = |x + 3| - 1$.

Этот график также можно построить с помощью геометрических преобразований базовой функции $y = |x|$.

1. Строим график функции $y = |x|$. Это "галочка" с вершиной в начале координат $(0, 0)$.

2. Строим график функции $y = |x + 3|$. Для этого сдвигаем график $y = |x|$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Вершина переместится в точку $(-3, 0)$.

3. Строим график функции $y = |x + 3| - 1$. Для этого сдвигаем график $y = |x + 3|$ на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Вершина переместится из точки $(-3, 0)$ в точку $(-3, -1)$.

Также можно раскрыть модуль. Точка, в которой выражение под модулем равно нулю: $x + 3 = 0 \implies x = -3$.

$y = |x + 3| - 1 = \begin{cases} (x + 3) - 1, & \text{если } x + 3 \ge 0, \text{ то есть } x \ge -3 \\ -(x + 3) - 1, & \text{если } x + 3 < 0, \text{ то есть } x < -3 \end{cases}$

Упрощаем и получаем систему:

$y = \begin{cases} x + 2, & \text{при } x \ge -3 \\ -x - 4, & \text{при } x < -3 \end{cases}$

Для построения графика:

1. Рисуем луч $y = x + 2$ для всех $x \ge -3$. Он начинается в точке $(-3, -1)$ и проходит, например, через точку $(0, 2)$.

2. Рисуем луч $y = -x - 4$ для всех $x < -3$. Он также начинается в точке $(-3, -1)$ и проходит, например, через точку $(-4, 0)$.

Ответ: График функции $y = |x + 3| - 1$ — это "галочка", вершина которой находится в точке $(-3, -1)$. Ветви направлены вверх. При $x \ge -3$ график совпадает с прямой $y = x + 2$, а при $x < -3$ — с прямой $y = -x - 4$.

3) Построить график функции $y = |x - 1| + x$.

Для построения этого графика необходимо раскрыть модуль. Выражение под модулем $x - 1$ обращается в ноль при $x = 1$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

В этом случае $|x - 1| = x - 1$. Функция принимает вид:

$y = (x - 1) + x = 2x - 1$.

Случай 2: $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$.

В этом случае $|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1$. Функция принимает вид:

$y = (-x + 1) + x = 1$.

Итак, мы получили кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} 2x - 1, & \text{при } x \ge 1 \\ 1, & \text{при } x < 1 \end{cases}$

Теперь построим график:

1. Для всех $x < 1$ строим график функции $y = 1$. Это горизонтальный луч, идущий из бесконечности слева и заканчивающийся в точке $(1, 1)$ (точка не выколота, так как в ней состыкуется вторая часть графика).

2. Для всех $x \ge 1$ строим график функции $y = 2x - 1$. Это луч, начинающийся в точке $(1, 1)$ (при $x = 1, y = 2 \cdot 1 - 1 = 1$) и проходящий, например, через точку $(2, 3)$ (при $x = 2, y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$).

График представляет собой ломаную линию, состоящую из двух лучей, соединяющихся в точке $(1, 1)$.

Ответ: График функции $y = |x - 1| + x$ состоит из двух частей: горизонтального луча $y = 1$ на промежутке $(-\infty, 1)$ и луча $y = 2x - 1$ на промежутке $[1, +\infty)$. Точка "излома" графика — $(1, 1)$.