Номер 10.32, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.32, страница 79.

Условие.

10.32. Равносильны ли неравенства:

1)$ \frac{1}{x} < 1 \text{ и } x > 1;$

2)$ x^2 \ge x \text{ и } x \ge 1;$

3)$ (x-1)^2 > 0 \text{ и } |x-1| > 0;$

4) $ (x-5)^2 < 0 \text{ и } |x-4| < 0;$

5) $ |x| \le 0 \text{ и } x^4 \le 0;$

6) $ (x-2)^2 \le 0 \text{ и } (x-1)^2 \le 0?$

Решение.

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.

1) $ \frac{1}{x} < 1 $ и $ x > 1 $

Решим первое неравенство $ \frac{1}{x} < 1 $.

Перенесем 1 в левую часть: $ \frac{1}{x} - 1 < 0 $.

Приведем к общему знаменателю: $ \frac{1-x}{x} < 0 $.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $ 1-x=0 \Rightarrow x=1 $. Нули знаменателя: $ x=0 $.

Отметим точки 0 и 1 на числовой прямой и определим знаки выражения $ \frac{1-x}{x} $ на полученных интервалах $ (-\infty, 0) $, $ (0, 1) $, $ (1, \infty) $.

• При $ x < 0 $ (например, $ x = -1 $): $ \frac{1-(-1)}{-1} = -2 < 0 $. Интервал подходит.
• При $ 0 < x < 1 $ (например, $ x = 0.5 $): $ \frac{1-0.5}{0.5} = 1 > 0 $. Интервал не подходит.
• При $ x > 1 $ (например, $ x = 2 $): $ \frac{1-2}{2} = -0.5 < 0 $. Интервал подходит.

Таким образом, множество решений первого неравенства: $ x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $.

Множество решений второго неравенства $ x > 1 $ есть интервал $ (1, \infty) $.

Множества решений $ (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $ и $ (1, \infty) $ не совпадают, следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: нет.

2) $ x^2 \ge x $ и $ x \ge 1 $

Решим первое неравенство $ x^2 \ge x $.

Перенесем $ x $ в левую часть: $ x^2 - x \ge 0 $.

Вынесем $ x $ за скобки: $ x(x-1) \ge 0 $.

Корни соответствующего уравнения $ x(x-1)=0 $ равны $ x_1=0 $ и $ x_2=1 $. Графиком функции $ y = x(x-1) $ является парабола с ветвями вверх. Значения функции неотрицательны при $ x \le 0 $ и при $ x \ge 1 $.

Множество решений первого неравенства: $ (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $.

Множество решений второго неравенства $ x \ge 1 $ есть промежуток $ [1, \infty) $.

Множества решений не совпадают. Например, число -1 является решением первого неравенства, но не является решением второго.

Ответ: нет.

3) $ (x-1)^2 > 0 $ и $ |x-1| > 0 $

Рассмотрим первое неравенство $ (x-1)^2 > 0 $. Выражение в левой части (квадрат числа) всегда неотрицательно, то есть $ (x-1)^2 \ge 0 $. Равенство нулю достигается только при $ x-1=0 $, то есть при $ x=1 $. Следовательно, строгое неравенство $ (x-1)^2 > 0 $ выполняется для всех действительных чисел $ x $, кроме $ x=1 $.

Множество решений первого неравенства: $ x \in (-\infty, 1) \cup (1, \infty) $.

Рассмотрим второе неравенство $ |x-1| > 0 $. Модуль числа всегда неотрицателен, то есть $ |x-1| \ge 0 $. Равенство нулю достигается только при $ x-1=0 $, то есть при $ x=1 $. Следовательно, строгое неравенство $ |x-1| > 0 $ выполняется для всех действительных чисел $ x $, кроме $ x=1 $.

Множество решений второго неравенства: $ x \in (-\infty, 1) \cup (1, \infty) $.

Множества решений обоих неравенств совпадают.

Ответ: да.

4) $ (x-5)^2 < 0 $ и $ |x-4| < 0 $

Рассмотрим первое неравенство $ (x-5)^2 < 0 $. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $ (x-5)^2 \ge 0 $ для любого $ x $. Следовательно, неравенство $ (x-5)^2 < 0 $ не имеет решений.

Множество решений первого неравенства — пустое множество $ \emptyset $.

Рассмотрим второе неравенство $ |x-4| < 0 $. Модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $ |x-4| \ge 0 $ для любого $ x $. Следовательно, неравенство $ |x-4| < 0 $ не имеет решений.

Множество решений второго неравенства — пустое множество $ \emptyset $.

Множества решений обоих неравенств совпадают (оба пусты).

Ответ: да.

5) $ |x| \le 0 $ и $ x^4 \le 0 $

Рассмотрим первое неравенство $ |x| \le 0 $. Так как модуль числа всегда неотрицателен ($ |x| \ge 0 $), данное неравенство может выполняться только в случае, когда $ |x|=0 $. Это верно только при $ x=0 $.

Множество решений первого неравенства состоит из одного числа: $ \{0\} $.

Рассмотрим второе неравенство $ x^4 \le 0 $. Так как четная степень действительного числа всегда неотрицательна ($ x^4 \ge 0 $), данное неравенство может выполняться только в случае, когда $ x^4=0 $. Это верно только при $ x=0 $.

Множество решений второго неравенства состоит из одного числа: $ \{0\} $.

Множества решений обоих неравенств совпадают.

Ответ: да.

6) $ (x-2)^2 \le 0 $ и $ (x-1)^2 \le 0 $

Рассмотрим первое неравенство $ (x-2)^2 \le 0 $. Так как квадрат действительного числа всегда неотрицателен ($ (x-2)^2 \ge 0 $), данное неравенство может выполняться только в случае, когда $ (x-2)^2=0 $. Это верно только при $ x-2=0 $, то есть $ x=2 $.

Множество решений первого неравенства: $ \{2\} $.

Рассмотрим второе неравенство $ (x-1)^2 \le 0 $. Аналогично, оно может выполняться только в случае, когда $ (x-1)^2=0 $. Это верно только при $ x-1=0 $, то есть $ x=1 $.

Множество решений второго неравенства: $ \{1\} $.

Множества решений $ \{2\} $ и $ \{1\} $ не совпадают.

Ответ: нет.