Номер 10.39, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.39, страница 79.

Условие.

10.39. Существует ли такое значение параметра $a$, при котором любое число является решением неравенства (в случае утвердительного ответа укажите это значение):

1) $ax > -1 - 7x;$

2) $(a^2 - 16)x \le a + 4?$

Решение.

1) $ax > -1 - 7x$

Для того чтобы неравенство выполнялось для любого числа $x$, необходимо преобразовать его к виду $kx > b$.

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть:

$ax + 7x > -1$

Вынесем $x$ за скобки:

$(a + 7)x > -1$

Это неравенство будет выполняться для любого $x$ только в том случае, если коэффициент при $x$ равен нулю, а получившееся числовое неравенство является верным. Если коэффициент не равен нулю, то решением будет луч (например, $x > c$ или $x < c$), а не все числа.

Приравняем коэффициент при $x$ к нулю:

$a + 7 = 0 \implies a = -7$

Подставим это значение $a$ в неравенство, чтобы проверить второе условие:

$(-7 + 7)x > -1$

$0 \cdot x > -1$

$0 > -1$

Полученное неравенство $0 > -1$ является верным и не зависит от $x$. Следовательно, при $a = -7$ решением исходного неравенства является любое число.

Ответ: да, существует, $a = -7$.

2) $(a^2 - 16)x \le a + 4$

Данное неравенство является линейным относительно $x$. Оно будет выполняться для любого числа $x$, если коэффициент при $x$ равен нулю, а получившееся числовое неравенство является верным.

Приравняем коэффициент при $x$ к нулю:

$a^2 - 16 = 0$

$(a - 4)(a + 4) = 0$

Получаем два возможных значения параметра: $a_1 = 4$ и $a_2 = -4$. Проверим каждое из них.

Случай 1: $a = 4$

Подставляем $a = 4$ в исходное неравенство:

$(4^2 - 16)x \le 4 + 4$

$(16 - 16)x \le 8$

$0 \cdot x \le 8$

$0 \le 8$

Это верное числовое неравенство, значит, значение $a = 4$ подходит.

Случай 2: $a = -4$

Подставляем $a = -4$ в исходное неравенство:

$((-4)^2 - 16)x \le -4 + 4$

$(16 - 16)x \le 0$

$0 \cdot x \le 0$

$0 \le 0$

Это также верное числовое неравенство (нестрогое). Значит, значение $a = -4$ также подходит.

Ответ: да, существует, $a = 4$ и $a = -4$.