Номер 10.42, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.42, страница 79.

Условие.

10.42. При каких значениях параметра $a$ первое из неравенств в паре является следствием второго неравенства:

1) $2x - a > 0$ и $x + 2a - 3 > 0$;

2) $3x + a \le 0$ и $2x - a + 4 < 0$;

3) $x + a - 3 > 0$ и $\frac{x}{2} + a - 1 \ge 0$;

4) $ax < 1$ и $x > 1$;

5) $x > 0$ и $ax > 1$?

Решение.

Чтобы первое неравенство было следствием второго, необходимо, чтобы множество решений второго неравенства являлось подмножеством множества решений первого. Обозначим множество решений первого неравенства как $M_1$, а второго — как $M_2$. Тогда условие задачи можно записать как $M_2 \subseteq M_1$.

1) $2x - a > 0$ и $x + 2a - 3 > 0$

Решим первое неравенство относительно $x$:
$2x - a > 0 \implies 2x > a \implies x > \frac{a}{2}$.
Множество решений $M_1 = (\frac{a}{2}; +\infty)$.

Решим второе неравенство относительно $x$:
$x + 2a - 3 > 0 \implies x > 3 - 2a$.
Множество решений $M_2 = (3 - 2a; +\infty)$.

Условие $M_2 \subseteq M_1$ для данных интервалов означает, что начало интервала $M_2$ должно быть не меньше, чем начало интервала $M_1$. То есть:
$3 - 2a \ge \frac{a}{2}$.
$6 - 4a \ge a$
$6 \ge 5a$
$a \le \frac{6}{5}$ или $a \le 1.2$.

Ответ: $a \in (-\infty; 1.2]$.

2) $3x + a \le 0$ и $2x - a + 4 < 0$

Решим первое неравенство:
$3x + a \le 0 \implies 3x \le -a \implies x \le -\frac{a}{3}$.
Множество решений $M_1 = (-\infty; -\frac{a}{3}]$.

Решим второе неравенство:
$2x - a + 4 < 0 \implies 2x < a - 4 \implies x < \frac{a - 4}{2}$.
Множество решений $M_2 = (-\infty; \frac{a - 4}{2})$.

Условие $M_2 \subseteq M_1$ означает, что правая граница интервала $M_2$ должна быть не больше, чем правая граница интервала $M_1$. То есть:
$\frac{a - 4}{2} \le -\frac{a}{3}$.
Умножим обе части на 6:
$3(a - 4) \le -2a$
$3a - 12 \le -2a$
$5a \le 12$
$a \le \frac{12}{5}$ или $a \le 2.4$.

Ответ: $a \in (-\infty; 2.4]$.

3) $x + a - 3 > 0$ и $\frac{x}{2} + a - 1 \ge 0$

Решим первое неравенство:
$x + a - 3 > 0 \implies x > 3 - a$.
Множество решений $M_1 = (3 - a; +\infty)$.

Решим второе неравенство:
$\frac{x}{2} + a - 1 \ge 0 \implies \frac{x}{2} \ge 1 - a \implies x \ge 2 - 2a$.
Множество решений $M_2 = [2 - 2a; +\infty)$.

Условие $M_2 \subseteq M_1$ означает, что начало интервала $M_2$ должно быть не меньше, чем начало интервала $M_1$. То есть:
$2 - 2a \ge 3 - a$.
$-a \ge 1$
$a \le -1$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1]$.

4) $ax < 1$ и $x > 1$

Второе неравенство задает множество решений $M_2 = (1; +\infty)$.
Рассмотрим первое неравенство $ax < 1$ в зависимости от параметра $a$.

Случай 1: $a > 0$.
Тогда $x < \frac{1}{a}$. Множество решений $M_1 = (-\infty; \frac{1}{a})$.
Условие $M_2 \subseteq M_1$ принимает вид $(1; +\infty) \subseteq (-\infty; \frac{1}{a})$. Это невозможно, так как одно множество ограничено сверху, а другое снизу. Решений в этом случае нет.

Случай 2: $a = 0$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x < 1$, то есть $0 < 1$. Это верно для любого $x$.
Множество решений $M_1 = (-\infty; +\infty)$.
Условие $M_2 \subseteq M_1$ принимает вид $(1; +\infty) \subseteq (-\infty; +\infty)$. Это верно. Значит, $a = 0$ является решением.

Случай 3: $a < 0$.
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется: $x > \frac{1}{a}$.
Множество решений $M_1 = (\frac{1}{a}; +\infty)$.
Условие $M_2 \subseteq M_1$ принимает вид $(1; +\infty) \subseteq (\frac{1}{a}; +\infty)$.
Это будет верным, если $1 \ge \frac{1}{a}$.
Так как $a < 0$, умножим обе части на $a$, изменив знак неравенства: $a \le 1$.
Совмещая с условием $a < 0$, получаем $a < 0$.

Объединяя решения из случаев 2 и 3, получаем $a \le 0$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0]$.

5) $x > 0$ и $ax > 1$

Первое неравенство задает множество решений $M_1 = (0; +\infty)$.
Рассмотрим второе неравенство $ax > 1$ в зависимости от параметра $a$.

Случай 1: $a > 0$.
Тогда $x > \frac{1}{a}$. Множество решений $M_2 = (\frac{1}{a}; +\infty)$.
Условие $M_2 \subseteq M_1$ принимает вид $(\frac{1}{a}; +\infty) \subseteq (0; +\infty)$.
Так как $a > 0$, то $\frac{1}{a} > 0$. Следовательно, это включение всегда верно. Значит, все $a > 0$ являются решениями.

Случай 2: $a = 0$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x > 1$, то есть $0 > 1$. Это неверно.
Множество решений $M_2 = \emptyset$ (пустое множество).
Условие $M_2 \subseteq M_1$ принимает вид $\emptyset \subseteq (0; +\infty)$. Пустое множество является подмножеством любого множества, поэтому это верно. Значит, $a = 0$ является решением.

Случай 3: $a < 0$.
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется: $x < \frac{1}{a}$.
Множество решений $M_2 = (-\infty; \frac{1}{a})$.
Условие $M_2 \subseteq M_1$ принимает вид $(-\infty; \frac{1}{a}) \subseteq (0; +\infty)$.
Так как $a < 0$, то $\frac{1}{a} < 0$. Множество $M_2$ содержит только отрицательные числа, а множество $M_1$ - только положительные. Включение невозможно, поскольку $M_2$ не является пустым множеством. Решений в этом случае нет.

Объединяя решения из случаев 1 и 2, получаем $a \ge 0$.

Ответ: $a \in [0; +\infty)$.