Номер 10.42, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.42, страница 79.
№10.42 (с. 79)
Условие. №10.42 (с. 79)
скриншот условия
 
                                10.42. При каких значениях параметра $a$ первое из неравенств в паре является следствием второго неравенства:
1) $2x - a > 0$ и $x + 2a - 3 > 0$;
2) $3x + a \le 0$ и $2x - a + 4 < 0$;
3) $x + a - 3 > 0$ и $\frac{x}{2} + a - 1 \ge 0$;
4) $ax < 1$ и $x > 1$;
5) $x > 0$ и $ax > 1$?
Решение. №10.42 (с. 79)
Чтобы первое неравенство было следствием второго, необходимо, чтобы множество решений второго неравенства являлось подмножеством множества решений первого. Обозначим множество решений первого неравенства как $M_1$, а второго — как $M_2$. Тогда условие задачи можно записать как $M_2 \subseteq M_1$.
1) $2x - a > 0$ и $x + 2a - 3 > 0$
Решим первое неравенство относительно $x$:
$2x - a > 0 \implies 2x > a \implies x > \frac{a}{2}$.
Множество решений $M_1 = (\frac{a}{2}; +\infty)$.
Решим второе неравенство относительно $x$:
$x + 2a - 3 > 0 \implies x > 3 - 2a$.
Множество решений $M_2 = (3 - 2a; +\infty)$.
Условие $M_2 \subseteq M_1$ для данных интервалов означает, что начало интервала $M_2$ должно быть не меньше, чем начало интервала $M_1$. То есть:
$3 - 2a \ge \frac{a}{2}$.
$6 - 4a \ge a$
$6 \ge 5a$
$a \le \frac{6}{5}$ или $a \le 1.2$.
Ответ: $a \in (-\infty; 1.2]$.
2) $3x + a \le 0$ и $2x - a + 4 < 0$
Решим первое неравенство:
$3x + a \le 0 \implies 3x \le -a \implies x \le -\frac{a}{3}$.
Множество решений $M_1 = (-\infty; -\frac{a}{3}]$.
Решим второе неравенство:
$2x - a + 4 < 0 \implies 2x < a - 4 \implies x < \frac{a - 4}{2}$.
Множество решений $M_2 = (-\infty; \frac{a - 4}{2})$.
Условие $M_2 \subseteq M_1$ означает, что правая граница интервала $M_2$ должна быть не больше, чем правая граница интервала $M_1$. То есть:
$\frac{a - 4}{2} \le -\frac{a}{3}$.
Умножим обе части на 6:
$3(a - 4) \le -2a$
$3a - 12 \le -2a$
$5a \le 12$
$a \le \frac{12}{5}$ или $a \le 2.4$.
Ответ: $a \in (-\infty; 2.4]$.
3) $x + a - 3 > 0$ и $\frac{x}{2} + a - 1 \ge 0$
Решим первое неравенство:
$x + a - 3 > 0 \implies x > 3 - a$.
Множество решений $M_1 = (3 - a; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$\frac{x}{2} + a - 1 \ge 0 \implies \frac{x}{2} \ge 1 - a \implies x \ge 2 - 2a$.
Множество решений $M_2 = [2 - 2a; +\infty)$.
Условие $M_2 \subseteq M_1$ означает, что начало интервала $M_2$ должно быть не меньше, чем начало интервала $M_1$. То есть:
$2 - 2a \ge 3 - a$.
$-a \ge 1$
$a \le -1$.
Ответ: $a \in (-\infty; -1]$.
4) $ax < 1$ и $x > 1$
Второе неравенство задает множество решений $M_2 = (1; +\infty)$.
Рассмотрим первое неравенство $ax < 1$ в зависимости от параметра $a$.
Случай 1: $a > 0$.
Тогда $x < \frac{1}{a}$. Множество решений $M_1 = (-\infty; \frac{1}{a})$.
Условие $M_2 \subseteq M_1$ принимает вид $(1; +\infty) \subseteq (-\infty; \frac{1}{a})$. Это невозможно, так как одно множество ограничено сверху, а другое снизу. Решений в этом случае нет.
Случай 2: $a = 0$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x < 1$, то есть $0 < 1$. Это верно для любого $x$.
Множество решений $M_1 = (-\infty; +\infty)$.
Условие $M_2 \subseteq M_1$ принимает вид $(1; +\infty) \subseteq (-\infty; +\infty)$. Это верно. Значит, $a = 0$ является решением.
Случай 3: $a < 0$.
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется: $x > \frac{1}{a}$.
Множество решений $M_1 = (\frac{1}{a}; +\infty)$.
Условие $M_2 \subseteq M_1$ принимает вид $(1; +\infty) \subseteq (\frac{1}{a}; +\infty)$.
Это будет верным, если $1 \ge \frac{1}{a}$.
Так как $a < 0$, умножим обе части на $a$, изменив знак неравенства: $a \le 1$.
Совмещая с условием $a < 0$, получаем $a < 0$.
Объединяя решения из случаев 2 и 3, получаем $a \le 0$.
Ответ: $a \in (-\infty; 0]$.
5) $x > 0$ и $ax > 1$
Первое неравенство задает множество решений $M_1 = (0; +\infty)$.
Рассмотрим второе неравенство $ax > 1$ в зависимости от параметра $a$.
Случай 1: $a > 0$.
Тогда $x > \frac{1}{a}$. Множество решений $M_2 = (\frac{1}{a}; +\infty)$.
Условие $M_2 \subseteq M_1$ принимает вид $(\frac{1}{a}; +\infty) \subseteq (0; +\infty)$.
Так как $a > 0$, то $\frac{1}{a} > 0$. Следовательно, это включение всегда верно. Значит, все $a > 0$ являются решениями.
Случай 2: $a = 0$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x > 1$, то есть $0 > 1$. Это неверно.
Множество решений $M_2 = \emptyset$ (пустое множество).
Условие $M_2 \subseteq M_1$ принимает вид $\emptyset \subseteq (0; +\infty)$. Пустое множество является подмножеством любого множества, поэтому это верно. Значит, $a = 0$ является решением.
Случай 3: $a < 0$.
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется: $x < \frac{1}{a}$.
Множество решений $M_2 = (-\infty; \frac{1}{a})$.
Условие $M_2 \subseteq M_1$ принимает вид $(-\infty; \frac{1}{a}) \subseteq (0; +\infty)$.
Так как $a < 0$, то $\frac{1}{a} < 0$. Множество $M_2$ содержит только отрицательные числа, а множество $M_1$ - только положительные. Включение невозможно, поскольку $M_2$ не является пустым множеством. Решений в этом случае нет.
Объединяя решения из случаев 1 и 2, получаем $a \ge 0$.
Ответ: $a \in [0; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 10.42 расположенного на странице 79 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10.42 (с. 79), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    