Номер 11.3, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.3, страница 86.

Условие.

11.3. Изобразите на координатной прямой и запишите пересечение промежутков:

1) $ [3; 6] $ и $ (3; 8) $;

2) $ (-\infty; 2,6) $ и $ (2,8; +\infty) $;

3) $ [9; +\infty) $ и $ [11,5; +\infty) $;

4) $ (-\infty; -4,2] $ и $ (-\infty; -1,3) $.

Решение.

1) $[3; 6]$ и $(3; 8)$

Чтобы найти пересечение промежутков $[3; 6]$ и $(3; 8)$, необходимо найти множество всех чисел $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $3 \le x \le 6$ и $3 < x < 8$.

Рассмотрим оба неравенства:

• Из $3 \le x$ и $3 < x$ следует более строгое условие $3 < x$.
• Из $x \le 6$ и $x < 8$ следует более строгое условие $x \le 6$.

Объединяя эти два условия, получаем $3 < x \le 6$. В виде промежутка это записывается как $(3; 6]$.

Изобразим результат на координатной прямой. Точка 3 выколота (не входит в промежуток), а точка 6 закрашена (входит в промежуток).

Ответ: $(3; 6]$

2) $(-\infty; 2,6)$ и $(2,8; +\infty)$

Требуется найти пересечение промежутков $(-\infty; 2,6)$ и $(2,8; +\infty)$. Это означает, что мы ищем числа $x$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям: $x < 2,6$ и $x > 2,8$.

Не существует числа, которое было бы одновременно меньше 2,6 и больше 2,8. Следовательно, эти два промежутка не имеют общих точек.

Пересечение этих промежутков является пустым множеством, что обозначается символом $\emptyset$.

Изобразим эти промежутки на координатной прямой, чтобы показать отсутствие пересечения.

Ответ: $\emptyset$

3) $[9; +\infty)$ и $[11,5; +\infty)$

Нам нужно найти пересечение промежутков $[9; +\infty)$ и $[11,5; +\infty)$. Ищем числа $x$, для которых одновременно выполняются условия $x \ge 9$ и $x \ge 11,5$.

Если число $x$ больше или равно 11,5, то оно автоматически больше или равно 9. Таким образом, общее для обоих промежутков условие — это более сильное из них, то есть $x \ge 11,5$.

Этот результат соответствует промежутку $[11,5; +\infty)$.

Изобразим результат на координатной прямой. Точка 11,5 закрашена, а штриховка идет вправо, в сторону плюс бесконечности.

Ответ: $[11,5; +\infty)$

4) $(-\infty; -4,2]$ и $(-\infty; -1,3)$

Найдем пересечение промежутков $(-\infty; -4,2]$ и $(-\infty; -1,3)$. Ищем числа $x$, которые удовлетворяют одновременно условиям $x \le -4,2$ и $x < -1,3$.

Поскольку $-4,2 < -1,3$, любое число, которое меньше или равно -4,2, автоматически будет меньше -1,3. Следовательно, общее условие — это более строгое из них, то есть $x \le -4,2$.

Этот результат соответствует промежутку $(-\infty; -4,2]$.

Изобразим результат на координатной прямой. Точка -4,2 закрашена, а штриховка идет влево, в сторону минус бесконечности.

Ответ: $(-\infty; -4,2]$