Номер 11.5, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.5, страница 86.

Условие.

11.5. Известно, что $m < n < k < p$. Какой из данных промежутков является пересечением промежутков $(m; p)$ и $(n; k)$:

1) $(m; n)$; 2) $(k; p)$; 3) $(n; k)$; 4) $(m; p)$?

Решение.

По условию задачи дано строгое неравенство $m < n < k < p$. Требуется найти пересечение двух числовых промежутков: $(m; p)$ и $(n; k)$.

Пересечением двух промежутков называется множество всех чисел, которые принадлежат каждому из этих промежутков. Иными словами, мы ищем множество всех чисел $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $x \in (m; p)$ и $x \in (n; k)$.

Запишем эти условия в виде системы неравенств: $$ \begin{cases} m < x < p \\ n < x < k \end{cases} $$ Эту систему можно разбить на четыре отдельных неравенства: $$ \begin{cases} x > m \\ x < p \\ x > n \\ x < k \end{cases} $$

Проанализируем эту систему, используя данное в условии соотношение $m < n < k < p$.

1. Рассмотрим пару неравенств $x > m$ и $x > n$. Так как по условию $m < n$, то любое число, которое больше $n$, автоматически будет больше и $m$. Поэтому неравенство $x > m$ является более слабым (избыточным), и из этой пары остается только более сильное неравенство $x > n$.

2. Рассмотрим пару неравенств $x < p$ и $x < k$. Так как по условию $k < p$, то любое число, которое меньше $k$, автоматически будет меньше и $p$. Поэтому неравенство $x < p$ является более слабым, и из этой пары остается только более сильное неравенство $x < k$.

Таким образом, исходная система неравенств равносильна следующей упрощенной системе: $$ \begin{cases} x > n \\ x < k \end{cases} $$ Это соответствует двойному неравенству $n < x < k$, которое определяет открытый числовой промежуток $(n; k)$.

Следовательно, пересечением промежутков $(m; p)$ и $(n; k)$ является промежуток $(n; k)$. Этот вариант ответа предложен под номером 3.

Ответ: 3) $(n; k)$