Номер 11.11, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.11, страница 87.

Условие.

11.11. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} 8(2-x) - 2x > 3 \\ -3(6x-1) - x < 2x \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x+1}{4} - \frac{2x+3}{3} > 1 \\ 6(2x-1) < 5(x-4) - 7 \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2(x-3) \le 3x + 4(x+1) \\ (x-3)(x+3) \le (x-4)^2 - 1 \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2(x+11) \ge 3(6-x) \\ (x-3)(x+6) \ge (x+5)(x-4) \end{cases}$

5) $\begin{cases} 2x - \frac{x+1}{2} \le \frac{x+1}{3} \\ (x+5)(x-3) + 41 \ge (x-6)^2 \end{cases}$

6) $\begin{cases} 5x + 4 \le 2x - 8 \\ (x+2)(x-1) \ge (x+3)(x-2) \end{cases}$

7) $\begin{cases} \frac{x+2}{7} < \frac{x+1}{4} \\ (x-6)(x+2) + 4x < x^2 - 49 \end{cases}$

8) $\begin{cases} \frac{6x+1}{6} - \frac{5x-1}{5} > -1 \\ 2(x+8) - 3(x+2) < 5 - x \end{cases}$

Решение.

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 8(2-x) - 2x > 3, \\ -3(6x-1) - x < 2x; \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$8(2-x) - 2x > 3$

$16 - 8x - 2x > 3$

$16 - 10x > 3$

$-10x > 3 - 16$

$-10x > -13$

$x < \frac{-13}{-10}$

$x < 1,3$

Решим второе неравенство:

$-3(6x-1) - x < 2x$

$-18x + 3 - x < 2x$

$-19x + 3 < 2x$

$3 < 2x + 19x$

$3 < 21x$

$x > \frac{3}{21}$

$x > \frac{1}{7}$

Найдем пересечение решений: $x \in (\frac{1}{7}; +\infty)$ и $x \in (-\infty; 1,3)$.

Таким образом, решение системы: $ \frac{1}{7} < x < 1,3 $.

Ответ: $(\frac{1}{7}; 1,3)$.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{x+1}{4} - \frac{2x+3}{3} > 1, \\ 6(2x-1) < 5(x-4) - 7; \end{cases} $

Решим первое неравенство, умножив обе части на 12:

$12 \cdot (\frac{x+1}{4} - \frac{2x+3}{3}) > 12 \cdot 1$

$3(x+1) - 4(2x+3) > 12$

$3x + 3 - 8x - 12 > 12$

$-5x - 9 > 12$

$-5x > 21$

$x < -\frac{21}{5}$

$x < -4,2$

Решим второе неравенство:

$6(2x-1) < 5(x-4) - 7$

$12x - 6 < 5x - 20 - 7$

$12x - 6 < 5x - 27$

$12x - 5x < -27 + 6$

$7x < -21$

$x < -3$

Найдем пересечение решений: $x < -4,2$ и $x < -3$. Общим решением является $x < -4,2$.

Ответ: $(-\infty; -4,2)$.

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2(x-3) \le 3x + 4(x+1), \\ (x-3)(x+3) \le (x-4)^2 - 1; \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$2(x-3) \le 3x + 4(x+1)$

$2x - 6 \le 3x + 4x + 4$

$2x - 6 \le 7x + 4$

$-6 - 4 \le 7x - 2x$

$-10 \le 5x$

$x \ge -2$

Решим второе неравенство:

$(x-3)(x+3) \le (x-4)^2 - 1$

$x^2 - 9 \le x^2 - 8x + 16 - 1$

$x^2 - 9 \le x^2 - 8x + 15$

$-9 \le -8x + 15$

$8x \le 15 + 9$

$8x \le 24$

$x \le 3$

Найдем пересечение решений: $x \ge -2$ и $x \le 3$.

Решением системы является отрезок $[-2; 3]$.

Ответ: $[-2; 3]$.

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2(x+11) \ge 3(6-x), \\ (x-3)(x+6) \ge (x+5)(x-4); \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$2(x+11) \ge 3(6-x)$

$2x + 22 \ge 18 - 3x$

$2x + 3x \ge 18 - 22$

$5x \ge -4$

$x \ge -0,8$

Решим второе неравенство:

$(x-3)(x+6) \ge (x+5)(x-4)$

$x^2 + 6x - 3x - 18 \ge x^2 - 4x + 5x - 20$

$x^2 + 3x - 18 \ge x^2 + x - 20$

$3x - x \ge -20 + 18$

$2x \ge -2$

$x \ge -1$

Найдем пересечение решений: $x \ge -0,8$ и $x \ge -1$. Общим решением является $x \ge -0,8$.

Ответ: $[-0,8; +\infty)$.

5) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x - \frac{x+1}{2} \le \frac{x+1}{3}, \\ (x+5)(x-3) + 41 \ge (x-6)^2; \end{cases} $

Решим первое неравенство, умножив обе части на 6:

$6 \cdot (2x - \frac{x+1}{2}) \le 6 \cdot \frac{x+1}{3}$

$12x - 3(x+1) \le 2(x+1)$

$12x - 3x - 3 \le 2x + 2$

$9x - 3 \le 2x + 2$

$7x \le 5$

$x \le \frac{5}{7}$

Решим второе неравенство:

$(x+5)(x-3) + 41 \ge (x-6)^2$

$x^2 - 3x + 5x - 15 + 41 \ge x^2 - 12x + 36$

$x^2 + 2x + 26 \ge x^2 - 12x + 36$

$2x + 12x \ge 36 - 26$

$14x \ge 10$

$x \ge \frac{10}{14}$

$x \ge \frac{5}{7}$

Найдем пересечение решений: $x \le \frac{5}{7}$ и $x \ge \frac{5}{7}$. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\{\frac{5}{7}\}$.

6) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 5x + 4 \le 2x - 8, \\ (x+2)(x-1) \ge (x+3)(x-2); \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$5x + 4 \le 2x - 8$

$5x - 2x \le -8 - 4$

$3x \le -12$

$x \le -4$

Решим второе неравенство:

$(x+2)(x-1) \ge (x+3)(x-2)$

$x^2 - x + 2x - 2 \ge x^2 - 2x + 3x - 6$

$x^2 + x - 2 \ge x^2 + x - 6$

$-2 \ge -6$

Это неравенство верно для любого значения $x$.

Найдем пересечение решений: $x \le -4$ и $x \in (-\infty; +\infty)$. Общим решением является $x \le -4$.

Ответ: $(-\infty; -4]$.

7) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{x+2}{7} < \frac{x+1}{4}, \\ (x-6)(x+2) + 4x < x^2 - 49; \end{cases} $

Решим первое неравенство, умножив обе части на 28:

$4(x+2) < 7(x+1)$

$4x + 8 < 7x + 7$

$8 - 7 < 7x - 4x$

$1 < 3x$

$x > \frac{1}{3}$

Решим второе неравенство:

$(x-6)(x+2) + 4x < x^2 - 49$

$x^2 + 2x - 6x - 12 + 4x < x^2 - 49$

$x^2 - 12 < x^2 - 49$

$-12 < -49$

Это неравенство является ложным. Следовательно, второе неравенство не имеет решений.

Поскольку второе неравенство системы не имеет решений, вся система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

8) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{6x+1}{6} - \frac{5x-1}{5} > -1, \\ 2(x+8) - 3(x+2) < 5 - x; \end{cases} $

Решим первое неравенство, умножив обе части на 30:

$5(6x+1) - 6(5x-1) > -30$

$30x + 5 - 30x + 6 > -30$

$11 > -30$

Это неравенство верно для любого значения $x$.

Решим второе неравенство:

$2(x+8) - 3(x+2) < 5 - x$

$2x + 16 - 3x - 6 < 5 - x$

$-x + 10 < 5 - x$

$10 < 5$

Это неравенство является ложным. Следовательно, второе неравенство не имеет решений.

Поскольку второе неравенство системы не имеет решений, вся система не имеет решений.

Ответ: решений нет.