Номер 11.16, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.16, страница 87.

Условие.

11.16. Решите неравенство:

1) $-2 \le \frac{6x+1}{4} < 4$;

2) $1,2 < \frac{7-3x}{5} \le 1,4$.

Решение.

1)

Дано двойное неравенство: $-2 \le \frac{6x + 1}{4} < 4$.

Чтобы решить его, выполним преобразования одновременно для всех трех частей неравенства.

Сначала умножим все части на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$-2 \cdot 4 \le 6x + 1 < 4 \cdot 4$

$-8 \le 6x + 1 < 16$

Теперь вычтем 1 из всех частей, чтобы изолировать выражение с $x$:

$-8 - 1 \le 6x < 16 - 1$

$-9 \le 6x < 15$

Наконец, разделим все части на 6, чтобы найти $x$:

$\frac{-9}{6} \le x < \frac{15}{6}$

Сократим дроби:

$-\frac{3}{2} \le x < \frac{5}{2}$

Переведем в десятичные дроби для удобства:

$-1,5 \le x < 2,5$

Таким образом, решение неравенства представляет собой промежуток от -1,5 (включительно) до 2,5 (не включая).

Ответ: $x \in [-1,5; 2,5)$.

2)

Дано двойное неравенство: $1,2 < \frac{7 - 3x}{5} \le 1,4$.

Решаем его аналогичным образом.

Умножим все части на 5:

$1,2 \cdot 5 < 7 - 3x \le 1,4 \cdot 5$

$6 < 7 - 3x \le 7$

Вычтем 7 из всех частей:

$6 - 7 < -3x \le 7 - 7$

$-1 < -3x \le 0$

Разделим все части на -3. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-1}{-3} > x \ge \frac{0}{-3}$

$\frac{1}{3} > x \ge 0$

Запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$0 \le x < \frac{1}{3}$

Решением является промежуток от 0 (включительно) до $\frac{1}{3}$ (не включая).

Ответ: $x \in [0; \frac{1}{3})$.