Номер 11.23, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.23, страница 88.

Условие.

11.23. Решите систему:

1) $ \begin{cases} x > 2, \\ x = 1, \\ x = 3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x < 4, \\ x = 1, \\ x = 3; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x > -3, \\ x > 1, \\ x < 0; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x < 4, \\ x > 2, \\ x < -2. \end{cases} $

Решение.

1) Решим систему: $$ \begin{cases} x > 2, \\ \begin{bmatrix} x = 1, \\ x = 3. \end{bmatrix} \end{cases} $$

Фигурная скобка обозначает систему, то есть необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют всем условиям одновременно. Квадратная скобка обозначает совокупность, то есть $x$ должен быть равен 1 ИЛИ 3.

Следовательно, нам нужно проверить, какие из значений $x=1$ и $x=3$ удовлетворяют неравенству $x>2$.

1. Проверяем $x=1$: неравенство $1 > 2$ является ложным. Значит, $x=1$ не является решением системы.

2. Проверяем $x=3$: неравенство $3 > 2$ является истинным. Значит, $x=3$ является решением системы.

Единственное значение, удовлетворяющее системе, это $x=3$.

Ответ: $3$.

2) Решим систему: $$ \begin{cases} x < 4, \\ \begin{bmatrix} x = 1, \\ x = 3. \end{bmatrix} \end{cases} $$

Как и в предыдущем случае, необходимо найти значения из совокупности ($x=1$ или $x=3$), которые удовлетворяют неравенству $x < 4$.

1. Проверяем $x=1$: неравенство $1 < 4$ является истинным. Значит, $x=1$ является решением системы.

2. Проверяем $x=3$: неравенство $3 < 4$ является истинным. Значит, $x=3$ является решением системы.

Оба значения удовлетворяют системе.

Ответ: $1; 3$.

3) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x > -3, \\ x > 1, \\ x < 0. \end{cases} $$

Нужно найти пересечение множеств решений всех трех неравенств.

Решение первого неравенства $x > -3$ — это интервал $(-3; +\infty)$.

Решение второго неравенства $x > 1$ — это интервал $(1; +\infty)$.

Решение третьего неравенства $x < 0$ — это интервал $(-\infty; 0)$.

Найдем пересечение этих трех интервалов. Сначала найдем пересечение первых двух: $(-3; +\infty) \cap (1; +\infty) = (1; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученного результата с третьим интервалом: $(1; +\infty) \cap (-\infty; 0)$.

Множество $(1; +\infty)$ содержит числа, которые больше 1. Множество $(-\infty; 0)$ содержит числа, которые меньше 0. Нет чисел, которые одновременно больше 1 и меньше 0. Следовательно, пересечение этих множеств пусто.

Ответ: нет решений.

4) Решим систему: $$ \begin{cases} x < 4, \\ \begin{bmatrix} x > 2, \\ x < -2. \end{bmatrix} \end{cases} $$

Здесь нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют одновременно неравенству $x < 4$ и совокупности неравенств ($x > 2$ или $x < -2$).

Решение неравенства $x < 4$ — это интервал $(-\infty; 4)$.

Решение совокупности $\begin{bmatrix} x > 2, \\ x < -2 \end{bmatrix}$ — это объединение двух интервалов: $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этих множеств: $((-\infty; -2) \cup (2; +\infty)) \cap (-\infty; 4)$.

Это пересечение можно найти, рассмотрев два случая:

1. Пересечение $(-\infty; -2)$ и $(-\infty; 4)$. Все числа, которые меньше $-2$, также меньше $4$. Поэтому их пересечение есть интервал $(-\infty; -2)$.

2. Пересечение $(2; +\infty)$ и $(-\infty; 4)$. Нам нужны числа, которые одновременно больше $2$ и меньше $4$. Это интервал $(2; 4)$.

Общее решение системы — это объединение результатов этих двух случаев.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (2; 4)$.