Номер 11.28, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.28, страница 89.

Условие.

11.28. При каких значениях параметра a имеет хотя бы одно решение система неравенств:

1) $\begin{cases} x \geq 3, \\ x < a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x \leq 3, \\ x \geq a \end{cases}?$

Решение.

1)

Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x \ge 3 \\ x < a \end{cases} $
Решением первого неравенства является промежуток $[3, +\infty)$.
Решением второго неравенства является промежуток $(-\infty, a)$.
Система будет иметь хотя бы одно решение, если пересечение этих двух промежутков не является пустым множеством.
Геометрически на числовой оси это означает, что промежуток $(-\infty, a)$ должен "перекрывать" промежуток $[3, +\infty)$. Это возможно только в том случае, если правая граница первого промежутка, точка $a$, будет находиться правее левой границы второго промежутка, точки 3.
Поскольку второе неравенство строгое ($x < a$), то значение $x=a$ не входит в решение. Если $a = 3$, то система примет вид $ \begin{cases} x \ge 3 \\ x < 3 \end{cases} $, что не имеет решений.
Следовательно, для существования решения необходимо, чтобы $a$ было строго больше 3.
При $a > 3$ решением системы будет интервал $x \in [3; a)$, который не является пустым.
Ответ: $a > 3$.

2)

Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x \le 3 \\ x \ge a \end{cases} $
Решением первого неравенства является промежуток $(-\infty, 3]$.
Решением второго неравенства является промежуток $[a, +\infty)$.
Система будет иметь хотя бы одно решение, если пересечение этих двух промежутков, то есть отрезок $[a, 3]$, не является пустым множеством.
Отрезок $[a, 3]$ существует и непуст тогда и только тогда, когда его левая граница $a$ не превышает его правую границу 3.
Таким образом, должно выполняться условие $a \le 3$.
Если $a < 3$, решением системы является непустой отрезок $[a, 3]$.
Если $a = 3$, решением системы является одна точка $x=3$.
Если $a > 3$, то пересечение промежутков пусто, и решений нет.
Следовательно, система имеет хотя бы одно решение при $a \le 3$.
Ответ: $a \le 3$.