Номер 11.27, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.27, страница 88.

Условие.

11.27. Решите неравенство:

1) $\frac{x}{|x+1|} < 0;$

2) $\frac{x}{|x+1|} \le 0.$

Решение.

1) Решим неравенство $\frac{x}{|x+1|} < 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю.
$|x+1| \neq 0$, что означает $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$.

Значение модуля $|x+1|$ всегда неотрицательно. Учитывая ОДЗ ($x \neq -1$), знаменатель $|x+1|$ всегда строго положителен ($|x+1| > 0$).

Дробь будет отрицательной, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как знаменатель всегда положителен, для выполнения неравенства числитель должен быть отрицательным.
Таким образом, неравенство $\frac{x}{|x+1|} < 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} x < 0 \\ x \neq -1 \end{cases}$

Решением этой системы является объединение интервалов, в которых $x$ меньше нуля, за исключением точки $x=-1$.
В виде интервала это записывается как $(-\infty, -1) \cup (-1, 0)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0)$.

2) Решим неравенство $\frac{x}{|x+1|} \le 0$.

Это неравенство выполняется в двух случаях: когда дробь равна нулю или когда она меньше нуля.

1. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$x=0$. При этом $|0+1|=1 \neq 0$. Значит, $x=0$ является решением.

2. Дробь меньше нуля. Из предыдущего пункта мы знаем, что это выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0)$.

Объединяя оба случая, получаем решение исходного неравенства. Мы должны добавить точку $x=0$ к множеству $(-\infty, -1) \cup (-1, 0)$.

Объединение множества $(-\infty, -1) \cup (-1, 0)$ и точки $\{0\}$ дает нам множество $(-\infty, -1) \cup (-1, 0]$.

Альтернативный способ:
Как и в первом пункте, ОДЗ: $x \neq -1$. На этой области знаменатель $|x+1| > 0$.
Поэтому неравенство $\frac{x}{|x+1|} \le 0$ равносильно системе:
$\begin{cases} x \le 0 \\ x \neq -1 \end{cases}$
Решением является интервал $(-\infty, 0]$, из которого исключена точка $x=-1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0]$.