Номер 11.29, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.29, страница 89.

Условие.

11.29. При каких значениях параметра $a$ не имеет решений система неравенств:

1) $\begin{cases} x > 4, \\ x < a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x \le 1, \\ x \ge a? \end{cases}$

Решение.

1)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x > 4, \\ x < a. \end{cases} $$ Решением данной системы является множество всех чисел $x$, которые одновременно больше 4 и меньше $a$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $4 < x < a$. Такое множество непусто (то есть система имеет решения) только в том случае, если правая граница $a$ больше левой границы 4, то есть при $a > 4$. Система не будет иметь решений, если соответствующий числовой промежуток $(4; a)$ будет пустым. Это произойдет, если правая граница будет меньше или равна левой, то есть при $a \le 4$. Действительно, если $a \le 4$, то не существует числа $x$, которое было бы одновременно больше 4 и меньше или равно 4.

Ответ: $a \le 4$.

2)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x \le 1, \\ x \ge a. \end{cases} $$ Решением данной системы является множество всех чисел $x$, которые одновременно не превосходят 1 и не меньше $a$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $a \le x \le 1$. Такое множество непусто (то есть система имеет решения) только в том случае, если правая граница 1 больше или равна левой границе $a$, то есть при $a \le 1$. В этом случае решением будет отрезок $[a; 1]$. Система не будет иметь решений, если соответствующий числовой промежуток $[a; 1]$ будет пустым. Это произойдет, если левая граница $a$ будет строго больше правой границы 1, то есть при $a > 1$. В этом случае множество значений $x$, удовлетворяющих первому неравенству ($x \in (-\infty; 1]$), и множество значений $x$, удовлетворяющих второму неравенству ($x \in [a; +\infty)$), не будут иметь общих точек, так как они разделены на числовой оси.

Ответ: $a > 1$.