Номер 11.30, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.30, страница 89.

Условие.

11.30. При каких значениях параметра $a$ множеством решений системы неравенств $\begin{cases} x > -1 \\ x > a \end{cases}$ является промежуток:

1) $( -1; +\infty );$

2) $[ 1; +\infty )?$

Решение.

1) Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x > -1 \\ x \ge a \end{cases} $$ Множество решений первого неравенства — это промежуток $(-1; +\infty)$. Множество решений второго неравенства — это промежуток $[a; +\infty)$. Решением системы является пересечение этих двух промежутков.
Нам нужно, чтобы множеством решений был промежуток $(-1; +\infty)$. Это произойдет, если второе неравенство ($x \ge a$) не будет "отсекать" часть промежутка $(-1; +\infty)$. Такое возможно только в том случае, если точка $a$ находится левее точки $-1$ или совпадает с ней.
Если $a \le -1$, то пересечением множеств $(-1; +\infty)$ и $[a; +\infty)$ будет именно $(-1; +\infty)$.
Например, если $a = -2$, система $\begin{cases} x > -1 \\ x \ge -2 \end{cases}$ имеет решение $x > -1$.
Если $a = -1$, система $\begin{cases} x > -1 \\ x \ge -1 \end{cases}$ также имеет решение $x > -1$.
Если же $a > -1$ (например, $a=0$), то решением системы $\begin{cases} x > -1 \\ x \ge 0 \end{cases}$ будет $x \ge 0$, что не совпадает с требуемым промежутком.
Таким образом, условие выполняется при $a \le -1$.
Ответ: $a \in (-\infty; -1]$.

2) Нам нужно, чтобы множеством решений системы был промежуток $[1; +\infty)$.
Как мы выяснили, решение системы — это пересечение промежутков $(-1; +\infty)$ и $[a; +\infty)$.
Если $a \le -1$, решением будет $(-1; +\infty)$, что нам не подходит.
Следовательно, должно выполняться условие $a > -1$. При этом условии пересечением промежутков $(-1; +\infty)$ и $[a; +\infty)$ будет промежуток $[a; +\infty)$.
Чтобы этот промежуток совпал с заданным промежутком $[1; +\infty)$, необходимо, чтобы их начала совпадали. То есть, должно выполняться равенство: $$ a = 1 $$ Проверим, удовлетворяет ли это значение условию $a > -1$. Так как $1 > -1$, условие выполняется.
Ответ: $a = 1$.