Номер 11.25, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.25, страница 88.

Условие.

11.25. Решите неравенство:

1) $|x-1|(x+3) > 0; $

2) $|x-1|(x+3) \ge 0; $

3) $|x-1|(x-3) \ge 0; $

4) $|x-1|(x-3) < 0; $

5) $|x-1|(x+3) \le 0; $

6) $|x-1|(x-3) \le 0. $

Решение.

Для решения данных неравенств используется свойство модуля: $|a| \ge 0$ для любого числа $a$. Модуль равен нулю только тогда, когда выражение под модулем равно нулю, и строго положителен в остальных случаях.

1) $|x - 1|(x + 3) > 0$

Произведение двух множителей строго положительно, когда оба множителя строго положительны (так как $|x-1|$ не может быть отрицательным).

Следовательно, неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} |x - 1| > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$|x - 1| > 0 \implies x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Решаем второе неравенство:

$x + 3 > 0 \implies x > -3$.

Объединяя оба условия, получаем решение: $x$ больше -3, но не равен 1. В виде интервалов это записывается как $(-3, 1) \cup (1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-3, 1) \cup (1, \infty)$.

2) $|x - 1|(x + 3) \geq 0$

Так как $|x - 1| \ge 0$ для всех $x$, неравенство выполняется в двух случаях:

1. Когда левая часть равна нулю. Это происходит при $|x - 1| = 0$ (т.е. $x = 1$) или $x + 3 = 0$ (т.е. $x = -3$). Оба этих значения являются решениями.

2. Когда левая часть строго больше нуля, что было рассмотрено в пункте 1. Решение: $x \in (-3, 1) \cup (1, \infty)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем $x = 1$, $x = -3$ и интервалы $(-3, 1) \cup (1, \infty)$. Это можно записать как один интервал $[-3, \infty)$.

Ответ: $x \in [-3, \infty)$.

3) $|x - 1|(x - 3) > 0$

Аналогично пункту 1, произведение будет строго положительным, если оба множителя строго положительны.

$\begin{cases} |x - 1| > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства: $x \neq 1$.

Из второго неравенства: $x > 3$.

Условие $x > 3$ уже включает в себя условие $x \neq 1$, поэтому решением является $x > 3$.

Ответ: $x \in (3, \infty)$.

4) $|x - 1|(x - 3) < 0$

Произведение отрицательно, когда множители имеют разные знаки. Так как $|x - 1|$ не может быть отрицательным, он должен быть строго положительным, а второй множитель $(x - 3)$ — строго отрицательным.

$\begin{cases} |x - 1| > 0 \\ x - 3 < 0 \end{cases}$

Из первого неравенства: $x \neq 1$.

Из второго неравенства: $x < 3$.

Объединяя условия, получаем $x < 3$ и $x \neq 1$. Это соответствует объединению интервалов $(-\infty, 1) \cup (1, 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, 3)$.

5) $|x - 1|(x + 3) \leq 0$

Произведение не положительно, если оно меньше или равно нулю.

1. Произведение равно нулю при $x = 1$ или $x = -3$.

2. Произведение меньше нуля. Для этого $|x - 1|$ должен быть положителен ($x \neq 1$), а $(x+3)$ — отрицателен ($x < -3$). Это дает решение $x < -3$.

Объединяя эти случаи ($x=1$, $x=-3$ и $x < -3$), получаем множество $(-\infty, -3] \cup \{1\}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup \{1\}$.

6) $|x - 1|(x - 3) \leq 0$

Произведение не положительно, если оно меньше или равно нулю.

1. Произведение равно нулю при $x = 1$ или $x = 3$.

2. Произведение меньше нуля. Как мы выяснили в пункте 4, это происходит при $x \in (-\infty, 1) \cup (1, 3)$.

Объединяя решения из обоих пунктов (точки $x=1, x=3$ и интервалы $(-\infty, 1) \cup (1, 3)$), получаем единый интервал $(-\infty, 3]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3]$.