Номер 11.18, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.18, страница 88.

Условие.

11.18. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} -x < 2, \\ 2x \ge 7, \\ x < -4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x - 1 < 2x + 2, \\ 2x + 1 > 8 - 5x, \\ 5x - 25 \le 0. \end{cases}$

Решение.

1)

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение их решений.

Первое неравенство:
$-x < 2$
Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный:
$x > -2$

Второе неравенство:
$2x \ge 7$
Разделим обе части на 2:
$x \ge \frac{7}{2}$
$x \ge 3.5$

Третье неравенство:
$x < -4$

Теперь необходимо найти множество значений $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно: $x > -2$, $x \ge 3.5$ и $x < -4$.

На числовой оси эти множества не пересекаются. Например, не существует числа, которое одновременно больше 3.5 и меньше -4. Следовательно, система неравенств не имеет решений.

Ответ: решений нет ( $x \in \varnothing$ ).

2)

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение их решений.

Первое неравенство:
$3x - 1 < 2x + 2$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$3x - 2x < 2 + 1$
$x < 3$

Второе неравенство:
$2x + 1 > 8 - 5x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$2x + 5x > 8 - 1$
$7x > 7$
Разделим обе части на 7:
$x > 1$

Третье неравенство:
$5x - 25 \le 0$
Перенесем -25 в правую часть:
$5x \le 25$
Разделим обе части на 5:
$x \le 5$

Теперь необходимо найти множество значений $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно: $x < 3$, $x > 1$ и $x \le 5$.

Из первых двух неравенств ($x > 1$ и $x < 3$) следует, что $x$ находится в интервале $(1, 3)$.

Третье неравенство $x \le 5$ включает в себя весь интервал $(1, 3)$. Таким образом, пересечением всех трех решений является интервал $(1, 3)$.

Ответ: $(1; 3)$ или $1 < x < 3$.