Номер 11.14, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.14, страница 87.

Условие.

11.14. Сколько целых решений имеет система неравенств:

1) $\begin{cases} 4x + 3 \ge 6x - 7, \\ 3(x + 8) \ge 4(8 - x); \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - \frac{x+1}{3} - \frac{x-2}{6} < 2, \\ \frac{2x-5}{3} \ge -3? \end{cases}$

Решение.

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 4x + 3 \ge 6x - 7, \\ 3(x + 8) \ge 4(8 - x); \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$4x + 3 \ge 6x - 7$

$3 + 7 \ge 6x - 4x$

$10 \ge 2x$

$5 \ge x$, или $x \le 5$.

Решим второе неравенство:

$3(x + 8) \ge 4(8 - x)$

$3x + 24 \ge 32 - 4x$

$3x + 4x \ge 32 - 24$

$7x \ge 8$

$x \ge \frac{8}{7}$

Объединим решения обоих неравенств. Решение системы — это пересечение решений каждого неравенства, то есть $x$ должен удовлетворять обоим условиям одновременно: $x \le 5$ и $x \ge \frac{8}{7}$.

Это можно записать в виде двойного неравенства: $\frac{8}{7} \le x \le 5$.

Чтобы найти количество целых решений, определим, какие целые числа находятся в этом промежутке. Так как $\frac{8}{7} = 1\frac{1}{7}$, то целыми решениями являются числа: 2, 3, 4, 5.

Всего 4 целых решения.

Ответ: 4.

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x - \frac{x + 1}{3} - \frac{x - 2}{6} < 2, \\ \frac{2x - 5}{3} \ge -3; \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$x - \frac{x + 1}{3} - \frac{x - 2}{6} < 2$

Приведем левую часть к общему знаменателю 6:

$\frac{6x}{6} - \frac{2(x + 1)}{6} - \frac{x - 2}{6} < 2$

$\frac{6x - 2(x + 1) - (x - 2)}{6} < 2$

Умножим обе части неравенства на 6:

$6x - 2(x + 1) - (x - 2) < 12$

Раскроем скобки:

$6x - 2x - 2 - x + 2 < 12$

Приведем подобные слагаемые:

$3x < 12$

$x < 4$.

Решим второе неравенство:

$\frac{2x - 5}{3} \ge -3$

Умножим обе части на 3:

$2x - 5 \ge -9$

$2x \ge -9 + 5$

$2x \ge -4$

$x \ge -2$.

Объединим решения обоих неравенств: $x < 4$ и $x \ge -2$.

Получаем двойное неравенство: $-2 \le x < 4$.

Целыми решениями, удовлетворяющими этому неравенству, являются числа: -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Всего 6 целых решений.

Ответ: 6.