Номер 11.8, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.8, страница 86.

Условие.

11.8. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} -4x \le -12, \\ x + 2 > 6; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3x - 3 < 5x, \\ 7x - 10 < 5x; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x + 3 \ge 8, \\ \frac{x + 1}{3} < 6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 8 - x \ge 5, \\ x - 7 \le 2; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2 - 3x < 4x - 12, \\ 7 + 3x \ge 2x + 10; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 5x - 2 \ge 2x + 1, \\ 2x + 3 \le 33 - 3x. \end{cases}$

Решение.

1)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} -4x \le -12 \\ x + 2 > 6 \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство: $-4x \le -12$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на $-4$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge \frac{-12}{-4}$

$x \ge 3$

Теперь решим второе неравенство: $x + 2 > 6$.

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства:

$x > 6 - 2$

$x > 4$

Теперь нам нужно найти пересечение решений двух неравенств: $x \ge 3$ и $x > 4$. Это означает, что $x$ должен быть одновременно больше или равен $3$ и строго больше $4$. Область, удовлетворяющая обоим условиям, — это $x > 4$.

Ответ: $(4; +\infty)$.

2)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 8 - x \ge 5 \\ x - 7 \le 2 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $8 - x \ge 5$.

Вычтем $8$ из обеих частей:

$-x \ge 5 - 8$

$-x \ge -3$

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$x \le 3$

Решим второе неравенство: $x - 7 \le 2$.

Прибавим $7$ к обеим частям:

$x \le 2 + 7$

$x \le 9$

Найдем пересечение решений $x \le 3$ и $x \le 9$. Значение $x$ должно быть одновременно меньше или равно $3$ и меньше или равно $9$. Общим решением будет $x \le 3$.

Ответ: $(-\infty; 3]$.

3)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 3x - 3 < 5x \\ 7x - 10 < 5x \end{cases}$

Решим первое неравенство: $3x - 3 < 5x$.

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$-3 < 5x - 3x$

$-3 < 2x$

Разделим обе части на $2$:

$-\frac{3}{2} < x$ или $x > -1.5$

Решим второе неравенство: $7x - 10 < 5x$.

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$7x - 5x < 10$

$2x < 10$

Разделим обе части на $2$:

$x < 5$

Найдем пересечение решений $x > -1.5$ и $x < 5$. Это интервал между $-1.5$ и $5$.

Ответ: $(-1.5; 5)$.

4)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 2 - 3x < 4x - 12 \\ 7 + 3x \ge 2x + 10 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2 - 3x < 4x - 12$.

Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой:

$2 + 12 < 4x + 3x$

$14 < 7x$

Разделим на $7$:

$2 < x$ или $x > 2$

Решим второе неравенство: $7 + 3x \ge 2x + 10$.

Сгруппируем слагаемые:

$3x - 2x \ge 10 - 7$

$x \ge 3$

Найдем пересечение решений $x > 2$ и $x \ge 3$. Область, удовлетворяющая обоим условиям, — это $x \ge 3$.

Ответ: $[3; +\infty)$.

5)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} x + 3 \ge 8 \\ \frac{x+1}{3} < 6 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x + 3 \ge 8$.

Вычтем $3$ из обеих частей:

$x \ge 8 - 3$

$x \ge 5$

Решим второе неравенство: $\frac{x+1}{3} < 6$.

Умножим обе части на $3$:

$x + 1 < 18$

Вычтем $1$ из обеих частей:

$x < 17$

Найдем пересечение решений $x \ge 5$ и $x < 17$. Это все числа, которые больше или равны $5$, но строго меньше $17$.

Ответ: $[5; 17)$.

6)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 5x - 2 \ge 2x + 1 \\ 2x + 3 \le 33 - 3x \end{cases}$

Решим первое неравенство: $5x - 2 \ge 2x + 1$.

Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой:

$5x - 2x \ge 1 + 2$

$3x \ge 3$

Разделим на $3$:

$x \ge 1$

Решим второе неравенство: $2x + 3 \le 33 - 3x$.

Сгруппируем слагаемые:

$2x + 3x \le 33 - 3$

$5x \le 30$

Разделим на $5$:

$x \le 6$

Найдем пересечение решений $x \ge 1$ и $x \le 6$. Это все числа, которые больше или равны $1$ и одновременно меньше или равны $6$.

Ответ: $[1; 6]$.