Номер 11.6, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.6, страница 86.

Условие.

11.6. Изобразите на координатной прямой и запишите множество решений систем неравенств:

1) $\begin{cases} x \le 2 \\ x \le -1 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x \le 2 \\ x > -1 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x < 2 \\ x \ge -1 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x \le 2 \\ x < -1 \end{cases}$

5) $\begin{cases} x > 2 \\ x \ge -1 \end{cases}$

6) $\begin{cases} x > 2 \\ x \le -1 \end{cases}$

7) $\begin{cases} x \ge 2 \\ x \le 2 \end{cases}$

8) $\begin{cases} x \ge 2 \\ x < 2 \end{cases}$

Решение.

1) $\begin{cases} x \le 2, \\ x \le -1; \end{cases}$

Решением системы неравенств является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Первое неравенство $x \le 2$ задает луч $(-\infty, 2]$. Второе неравенство $x \le -1$ задает луч $(-\infty, -1]$.

Найдем пересечение этих лучей. Если число меньше или равно -1, оно автоматически меньше или равно 2. Следовательно, пересечением является луч $(-\infty, -1]$.

Изобразим это на координатной прямой:

Множество решений в виде промежутка: $x \in (-\infty, -1]$.

Ответ: $(-\infty, -1]$.

2) $\begin{cases} x \le 2, \\ x > -1; \end{cases}$

Решением является пересечение множеств $x \le 2$ (луч $(-\infty, 2]$) и $x > -1$ (луч $(-1, +\infty)$).

Общей частью этих двух множеств являются все числа, которые больше -1 и одновременно меньше или равны 2. Это полуинтервал $(-1, 2]$.

Изобразим на координатной прямой:

Множество решений в виде промежутка: $x \in (-1, 2]$.

Ответ: $(-1, 2]$.

3) $\begin{cases} x < 2, \\ x \ge -1; \end{cases}$

Решением является пересечение множеств $x < 2$ (луч $(-\infty, 2)$) и $x \ge -1$ (луч $[-1, +\infty)$).

Общей частью этих двух множеств являются все числа, которые больше или равны -1 и одновременно строго меньше 2. Это полуинтервал $[-1, 2)$.

Изобразим на координатной прямой:

Множество решений в виде промежутка: $x \in [-1, 2)$.

Ответ: $[-1, 2)$.

4) $\begin{cases} x \le 2, \\ x < -1; \end{cases}$

Решением является пересечение множеств $x \le 2$ (луч $(-\infty, 2]$) и $x < -1$ (луч $(-\infty, -1)$).

Если число строго меньше -1, оно автоматически меньше или равно 2. Следовательно, пересечением является луч $(-\infty, -1)$.

Изобразим на координатной прямой:

Множество решений в виде промежутка: $x \in (-\infty, -1)$.

Ответ: $(-\infty, -1)$.

5) $\begin{cases} x > 2, \\ x \ge -1; \end{cases}$

Решением является пересечение множеств $x > 2$ (луч $(2, +\infty)$) и $x \ge -1$ (луч $[-1, +\infty)$).

Если число строго больше 2, оно автоматически больше или равно -1. Следовательно, пересечением является луч $(2, +\infty)$.

Изобразим на координатной прямой:

Множество решений в виде промежутка: $x \in (2, +\infty)$.

Ответ: $(2, +\infty)$.

6) $\begin{cases} x > 2, \\ x \le -1; \end{cases}$

Решением является пересечение множеств $x > 2$ (луч $(2, +\infty)$) и $x \le -1$ (луч $(-\infty, -1]$).

Не существует числа, которое было бы одновременно больше 2 и меньше или равно -1. Следовательно, множества решений не пересекаются.

Изобразим на координатной прямой:

Система не имеет решений. Множество решений пустое.

Ответ: $\emptyset$.

7) $\begin{cases} x \ge 2, \\ x \le 2; \end{cases}$

Решением является пересечение множеств $x \ge 2$ (луч $[2, +\infty)$) и $x \le 2$ (луч $(-\infty, 2]$).

Единственное число, которое одновременно больше или равно 2 и меньше или равно 2, это само число 2.

Изобразим на координатной прямой:

Множество решений состоит из одного числа.

Ответ: $\{2\}$.

8) $\begin{cases} x \ge 2, \\ x < 2; \end{cases}$

Решением является пересечение множеств $x \ge 2$ (луч $[2, +\infty)$) и $x < 2$ (луч $(-\infty, 2)$).

Не существует числа, которое было бы одновременно больше или равно 2 и строго меньше 2. Следовательно, множества решений не пересекаются.

Изобразим на координатной прямой:

Система не имеет решений. Множество решений пустое.

Ответ: $\emptyset$.