Номер 10.45, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.45, страница 80.

Условие.

10.45. Упростите выражение

$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b+c}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b+c}} \left(1 + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

Решение.

Данное выражение представляет собой произведение двух множителей. Упростим каждый из них по отдельности, а затем найдем их произведение.

1. Упростим первый множитель, который является сложной дробью. Для этого сначала приведем к общему знаменателю выражения в числителе и знаменателе этой дроби:

Числитель: $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b+c} = \frac{b+c}{a(b+c)} + \frac{a}{a(b+c)} = \frac{a+b+c}{a(b+c)} $

Знаменатель: $ \frac{1}{a} - \frac{1}{b+c} = \frac{b+c}{a(b+c)} - \frac{a}{a(b+c)} = \frac{b+c-a}{a(b+c)} $

Теперь разделим полученный числитель на знаменатель:

$ \frac{\frac{a+b+c}{a(b+c)}}{\frac{b+c-a}{a(b+c)}} = \frac{a+b+c}{a(b+c)} \cdot \frac{a(b+c)}{b+c-a} = \frac{a+b+c}{b+c-a} $

2. Упростим второй множитель, который находится в скобках. Для этого приведем к общему знаменателю:

$ 1 + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{2bc}{2bc} + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{2bc + b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $

В числителе полученной дроби сгруппируем слагаемые, чтобы использовать формулу квадрата суммы $(b+c)^2 = b^2 + 2bc + c^2$:

$ \frac{(b^2 + 2bc + c^2) - a^2}{2bc} = \frac{(b+c)^2 - a^2}{2bc} $

Теперь применим к числителю формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$ \frac{(b+c-a)(b+c+a)}{2bc} $

3. Наконец, перемножим упрощенные выражения, полученные в шагах 1 и 2:

$ \left(\frac{a+b+c}{b+c-a}\right) \cdot \left(\frac{(b+c-a)(a+b+c)}{2bc}\right) $

Сократим общий множитель $(b+c-a)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{(a+b+c) \cdot (a+b+c)}{2bc} = \frac{(a+b+c)^2}{2bc} $

Ответ: $ \frac{(a+b+c)^2}{2bc} $