Номер 10.43, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.43, страница 80.

Условие.

10.43. При каких значениях параметра a равносильны неравенства:

1) $2x - a > 0$ и $x + 2a - 3 > 0;$

2) $3x + a \le 0$ и $2x - a + 4 < 0;$

3) $3x - a \ge 0$ и $x - a - 1 \ge 0;$

4) $3x - a \ge 0$ и $ax - 3 \ge 0;$

5) $ax \ge 1$ и $2ax > 3;$

6) $a^2x \ge 1$ и $2ax \ge 3?$

Решение.

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Для каждого пункта найдем множества решений обоих неравенств и приравняем их.

1) $2x - a > 0$ и $x + 2a - 3 > 0$

Решим каждое неравенство относительно x.

Первое неравенство:
$2x - a > 0$
$2x > a$
$x > a/2$
Множество решений: $x \in (a/2, +\infty)$.

Второе неравенство:
$x + 2a - 3 > 0$
$x > 3 - 2a$
Множество решений: $x \in (3 - 2a, +\infty)$.

Чтобы неравенства были равносильны, их множества решений должны совпадать. Это произойдет, если границы интервалов равны:

$a/2 = 3 - 2a$
$a = 6 - 4a$
$5a = 6$
$a = 6/5$

Ответ: $a = 6/5$.

2) $3x + a \le 0$ и $2x - a + 4 < 0$

Решим каждое неравенство относительно x.

Первое неравенство:
$3x + a \le 0$
$3x \le -a$
$x \le -a/3$
Множество решений: $(-\infty, -a/3]$.

Второе неравенство:
$2x - a + 4 < 0$
$2x < a - 4$
$x < (a - 4)/2$
Множество решений: $(-\infty, (a - 4)/2)$.

Множество решений первого неравенства является замкнутым лучом (включает конечную точку), так как неравенство нестрогое ($\le$). Множество решений второго неравенства — открытый луч (не включает конечную точку), так как неравенство строгое ($<$). Эти множества не могут быть равны ни при каких значениях a.

Ответ: таких значений a не существует.

3) $3x - a \ge 0$ и $x - a - 1 \ge 0$

Решим каждое неравенство относительно x.

Первое неравенство:
$3x - a \ge 0$
$3x \ge a$
$x \ge a/3$
Множество решений: $[a/3, +\infty)$.

Второе неравенство:
$x - a - 1 \ge 0$
$x \ge a + 1$
Множество решений: $[a+1, +\infty)$.

Неравенства равносильны, если множества их решений совпадают. Это произойдет, если границы лучей равны:

$a/3 = a + 1$
$a = 3(a + 1)$
$a = 3a + 3$
$-2a = 3$
$a = -3/2$

Ответ: $a = -3/2$.

4) $3x - a \ge 0$ и $ax - 3 \ge 0$

Решим первое неравенство относительно x:
$3x - a \ge 0 \implies 3x \ge a \implies x \ge a/3$.
Множество решений первого неравенства: $[a/3, +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $ax - 3 \ge 0 \implies ax \ge 3$.
Рассмотрим три случая для параметра a.

1. Если $a > 0$, то $x \ge 3/a$. Множество решений: $[3/a, +\infty)$.
Для равносильности неравенств необходимо, чтобы их множества решений совпадали:
$a/3 = 3/a$
$a^2 = 9$
Так как $a > 0$, то $a = 3$.

2. Если $a = 0$, второе неравенство принимает вид $0 \cdot x - 3 \ge 0$, то есть $-3 \ge 0$. Это неверно, следовательно, множество решений пустое ($\emptyset$). Первое неравенство при $a=0$ имеет вид $3x \ge 0$, или $x \ge 0$, его множество решений $[0, +\infty)$. Множества решений не совпадают.

3. Если $a < 0$, то при делении на a знак неравенства меняется: $x \le 3/a$. Множество решений: $(-\infty, 3/a]$. Это множество не может совпадать с множеством $[a/3, +\infty)$.

Таким образом, единственное подходящее значение параметра — это $a=3$.

Ответ: $a = 3$.

5) $ax \ge 1$ и $2ax > 3$

Рассмотрим решение неравенств в зависимости от знака параметра a.

1. Если $a > 0$.
Первое неравенство: $ax \ge 1 \implies x \ge 1/a$. Множество решений: $[1/a, +\infty)$.
Второе неравенство: $2ax > 3 \implies x > 3/(2a)$. Множество решений: $(3/(2a), +\infty)$.
Одно множество решений является замкнутым лучом, а другое — открытым. Они не могут совпадать.

2. Если $a = 0$.
Первое неравенство: $0 \cdot x \ge 1 \implies 0 \ge 1$. Неравенство неверно, множество решений пустое ($\emptyset$).
Второе неравенство: $0 \cdot x > 3 \implies 0 > 3$. Неравенство неверно, множество решений пустое ($\emptyset$).
Множества решений совпадают. Следовательно, $a=0$ является решением.

3. Если $a < 0$.
Первое неравенство: $ax \ge 1 \implies x \le 1/a$. Множество решений: $(-\infty, 1/a]$.
Второе неравенство: $2ax > 3 \implies x < 3/(2a)$. Множество решений: $(-\infty, 3/(2a))$.
Как и в случае $a > 0$, одно множество замкнутое, другое открытое, они не могут совпадать.

Таким образом, единственное решение — это $a=0$.

Ответ: $a = 0$.

6) $a^2x \ge 1$ и $2ax \ge 3$

Рассмотрим решение неравенств в зависимости от параметра a.

1. Если $a = 0$.
Первое неравенство: $0^2 \cdot x \ge 1 \implies 0 \ge 1$. Неверно, множество решений пустое ($\emptyset$).
Второе неравенство: $2 \cdot 0 \cdot x \ge 3 \implies 0 \ge 3$. Неверно, множество решений пустое ($\emptyset$).
Множества решений совпадают, следовательно, $a=0$ является решением.

2. Если $a \ne 0$, то $a^2 > 0$.
Решим первое неравенство: $a^2x \ge 1 \implies x \ge 1/a^2$. Множество решений: $[1/a^2, +\infty)$.
Теперь решим второе неравенство $2ax \ge 3$, рассмотрев два подслучая.

а) Если $a > 0$.
$2ax \ge 3 \implies x \ge 3/(2a)$. Множество решений: $[3/(2a), +\infty)$.
Для равносильности множества решений должны совпадать:
$1/a^2 = 3/(2a)$
Умножим обе части на $2a^2$ (это возможно, так как $a \ne 0$):
$2a = 3a^2$
$3a^2 - 2a = 0$
$a(3a - 2) = 0$
Поскольку $a \ne 0$, имеем $3a - 2 = 0$, откуда $a = 2/3$. Это значение удовлетворяет условию $a > 0$.

б) Если $a < 0$.
$2ax \ge 3 \implies x \le 3/(2a)$ (знак неравенства меняется). Множество решений: $(-\infty, 3/(2a)]$.
Это множество не может совпадать с множеством $[1/a^2, +\infty)$, найденным для первого неравенства.

Объединяя все найденные значения, получаем, что неравенства равносильны при $a=0$ и $a=2/3$.

Ответ: $a = 0; a = 2/3$.