Номер 10.44, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.44, страница 80.

Условие.

10.44. Приведите пример ста попарно различных множеств таких, что объединение любых двух из них содержит каждое из остальных 98 в качестве подмножества.

Решение.

Для решения этой задачи построим требуемый пример конструктивно.

Рассмотрим универсальное множество $U$, состоящее из 100 различных элементов. Для простоты обозначим эти элементы как $e_1, e_2, \dots, e_{100}$. Таким образом, $U = \{e_1, e_2, \dots, e_{100}\}$.

Теперь определим 100 множеств $A_1, A_2, \dots, A_{100}$ следующим образом: каждое множество $A_i$ (для $i = 1, \dots, 100$) будет состоять из всех элементов множества $U$, за исключением одного элемента — $e_i$.

Формально это можно записать так: $A_i = U \setminus \{e_i\}$.

Теперь проверим, что построенные множества удовлетворяют всем условиям задачи.

1. Все множества попарно различны.

Возьмём два любых различных индекса $i$ и $j$ (т.е. $i \neq j$). Множество $A_i$ определяется как $U \setminus \{e_i\}$, а множество $A_j$ — как $U \setminus \{e_j\}$.

Рассмотрим элемент $e_j$. Поскольку $j \neq i$, элемент $e_j$ не удаляется из $U$ при формировании множества $A_i$. Следовательно, $e_j \in A_i$.

Однако по определению множества $A_j$, элемент $e_j$ в нём отсутствует: $e_j \notin A_j$.

Поскольку мы нашли элемент ($e_j$), который принадлежит множеству $A_i$, но не принадлежит множеству $A_j$, мы можем заключить, что множества $A_i$ и $A_j$ не равны. Это верно для любой пары различных индексов, следовательно, все 100 множеств попарно различны.

2. Объединение любых двух множеств содержит все остальные.

Возьмём любые два различных множества $A_i$ и $A_j$ (где $i \neq j$) и найдём их объединение:

$A_i \cup A_j = (U \setminus \{e_i\}) \cup (U \setminus \{e_j\})$.

По законам де Моргана для множеств, объединение дополнений равно дополнению пересечения. В нашем случае это выглядит так:

$A_i \cup A_j = U \setminus (\{e_i\} \cap \{e_j\})$.

Поскольку индексы $i$ и $j$ различны, элементы $e_i$ и $e_j$ также различны. Это означает, что множества, состоящие только из этих элементов, не имеют общих элементов, то есть их пересечение пусто:

$\{e_i\} \cap \{e_j\} = \emptyset$.

Подставив это в формулу для объединения, получаем:

$A_i \cup A_j = U \setminus \emptyset = U$.

Таким образом, объединение любых двух различных множеств из нашего набора равно всему универсальному множеству $U$.

Теперь нам нужно проверить, что это объединение ($A_i \cup A_j = U$) содержит любое из оставшихся 98 множеств $A_k$ (где $k \neq i$ и $k \neq j$) в качестве подмножества. То есть, нужно проверить истинность утверждения $A_k \subseteq (A_i \cup A_j)$.

Так как $A_i \cup A_j = U$, это утверждение эквивалентно $A_k \subseteq U$.

По нашему построению, каждое множество $A_k$ является подмножеством $U$ (поскольку оно получено удалением одного элемента из $U$). Следовательно, условие $A_k \subseteq U$ всегда истинно.

Таким образом, построенный пример полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: В качестве примера можно взять универсальное множество $U = \{1, 2, \dots, 100\}$ и определить 100 множеств $A_i$ по правилу $A_i = U \setminus \{i\}$ для каждого $i$ от 1 до 100. То есть, $A_1 = \{2, 3, \dots, 100\}$, $A_2 = \{1, 3, \dots, 100\}$, и так далее до $A_{100} = \{1, 2, \dots, 99\}$.