Номер 10.40, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.40, страница 79.

Условие.

10.40. Для каждого значения параметра $a$ решите неравенство:

1) $ax > 0$;

2) $ax < 1$;

3) $ax \ge a$;

4) $(a - 2) x > a^2 - 4$;

5) $(a + 3) x \le a^2 - 9$;

6) $2(x - a) < ax - 4$.

Решение.

1)

Дано линейное неравенство с параметром $a$: $ax > 0$. Для его решения необходимо проанализировать коэффициент при переменной $x$, который равен $a$.

Рассмотрим три возможных случая:

1. Если параметр $a$ является положительным числом ($a > 0$), то при делении обеих частей неравенства на $a$ знак неравенства сохраняется. Получаем:
$x > \frac{0}{a}$
$x > 0$.

2. Если параметр $a$ является отрицательным числом ($a < 0$), то при делении обеих частей неравенства на отрицательное число $a$ знак неравенства меняется на противоположный. Получаем:
$x < \frac{0}{a}$
$x < 0$.

3. Если параметр $a$ равен нулю ($a = 0$), неравенство принимает вид $0 \cdot x > 0$, что эквивалентно неверному числовому неравенству $0 > 0$. Следовательно, в этом случае неравенство не имеет решений.

Ответ: если $a > 0$, то $x \in (0; +\infty)$; если $a < 0$, то $x \in (-\infty; 0)$; если $a = 0$, то решений нет.

2)

Дано линейное неравенство с параметром $a$: $ax < 1$.

Рассмотрим три возможных случая:

1. Если $a > 0$, делим обе части неравенства на $a$, знак неравенства сохраняется: $x < \frac{1}{a}$.

2. Если $a < 0$, делим обе части неравенства на $a$, знак неравенства меняется на противоположный: $x > \frac{1}{a}$.

3. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot x < 1$, или $0 < 1$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a > 0$, то $x \in (-\infty; \frac{1}{a})$; если $a < 0$, то $x \in (\frac{1}{a}; +\infty)$; если $a = 0$, то $x$ - любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

3)

Дано линейное неравенство с параметром $a$: $ax \ge a$.

Рассмотрим три возможных случая:

1. Если $a > 0$, делим обе части неравенства на $a$, знак неравенства сохраняется: $x \ge \frac{a}{a}$, то есть $x \ge 1$.

2. Если $a < 0$, делим обе части неравенства на $a$ и меняем знак неравенства на противоположный: $x \le \frac{a}{a}$, то есть $x \le 1$.

3. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot x \ge 0$, или $0 \ge 0$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a > 0$, то $x \in [1; +\infty)$; если $a < 0$, то $x \in (-\infty; 1]$; если $a = 0$, то $x$ - любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

4)

Рассмотрим неравенство $(a - 2)x > a^2 - 4$.

Преобразуем правую часть по формуле разности квадратов: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$.

Неравенство принимает вид: $(a - 2)x > (a - 2)(a + 2)$.

Решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $a-2$.

1. Если $a - 2 > 0$ (то есть $a > 2$), делим обе части на положительное число $(a-2)$: $x > a + 2$.

2. Если $a - 2 < 0$ (то есть $a < 2$), делим обе части на отрицательное число $(a-2)$ и меняем знак неравенства: $x < a + 2$.

3. Если $a - 2 = 0$ (то есть $a = 2$), неравенство принимает вид $0 \cdot x > (2-2)(2+2)$, или $0 > 0$. Это неверное числовое неравенство, поэтому решений нет.

Ответ: если $a > 2$, то $x \in (a+2; +\infty)$; если $a < 2$, то $x \in (-\infty; a+2)$; если $a = 2$, то решений нет.

5)

Рассмотрим неравенство $(a + 3)x \le a^2 - 9$.

Преобразуем правую часть: $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$.

Неравенство принимает вид: $(a + 3)x \le (a - 3)(a + 3)$.

Решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $a+3$.

1. Если $a + 3 > 0$ (то есть $a > -3$), делим обе части на положительное число $(a+3)$: $x \le a - 3$.

2. Если $a + 3 < 0$ (то есть $a < -3$), делим обе части на отрицательное число $(a+3)$ и меняем знак неравенства: $x \ge a - 3$.

3. Если $a + 3 = 0$ (то есть $a = -3$), неравенство принимает вид $0 \cdot x \le (-3-3)(-3+3)$, или $0 \le 0$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом $x$.

Ответ: если $a > -3$, то $x \in (-\infty; a-3]$; если $a < -3$, то $x \in [a-3; +\infty)$; если $a = -3$, то $x$ - любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

6)

Рассмотрим неравенство $2(x - a) < ax - 4$.

Сначала преобразуем неравенство, чтобы сгруппировать члены, содержащие $x$.

$2x - 2a < ax - 4$

$2x - ax < 2a - 4$

$x(2 - a) < 2(a - 2)$

Вынесем $-1$ за скобки в правой части, чтобы получить одинаковый множитель: $x(2 - a) < -2(2 - a)$.

Решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $2-a$.

1. Если $2 - a > 0$ (то есть $a < 2$), делим обе части на положительное число $(2-a)$, сохраняя знак неравенства: $x < -2$.

2. Если $2 - a < 0$ (то есть $a > 2$), делим обе части на отрицательное число $(2-a)$ и меняем знак неравенства на противоположный: $x > -2$.

3. Если $2 - a = 0$ (то есть $a = 2$), неравенство принимает вид $0 \cdot x < -2(0)$, или $0 < 0$. Это неверное числовое неравенство, поэтому решений нет.

Ответ: если $a < 2$, то $x \in (-\infty; -2)$; если $a > 2$, то $x \in (-2; +\infty)$; если $a = 2$, то решений нет.