Номер 10.33, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.33, страница 79.

Условие.

10.33. Какое из неравенств в паре является следствием второго:

1) $2x + 1 > 0$ и $1 - 2x < 0$;

2) $3x - 5 \le 0$ и $6 - 5x \ge 0$;

3) $|x| \ge 0$ и $x^2 > 0$;

4) $|x + 3| < 0$ и $17x - 19 > 0$;

5) $x + 1 \ge 0$ и $(x + 1)(x^2 + 1) > 0$;

6) $x^2 + 2x + 1 > 0$ и $x + 1 > 0?$

Решение.

Для определения, какое из неравенств является следствием другого, необходимо найти множества решений для каждого неравенства в паре и сравнить их. Если множество решений неравенства B является подмножеством множества решений неравенства A (записывается как $M(B) \subseteq M(A)$), то неравенство A является следствием неравенства B.

1) Рассмотрим пару неравенств: $2x + 1 > 0$ и $1 - 2x < 0$.

Решим первое неравенство: $2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -1/2$. Множество его решений $M_1 = (-1/2, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $1 - 2x < 0 \implies 1 < 2x \implies x > 1/2$. Множество его решений $M_2 = (1/2, +\infty)$.

Поскольку любой $x$, удовлетворяющий условию $x > 1/2$, также удовлетворяет условию $x > -1/2$, то $M_2 \subset M_1$.

Таким образом, первое неравенство является следствием второго.

Ответ: Неравенство $2x + 1 > 0$ является следствием неравенства $1 - 2x < 0$.

2) Рассмотрим пару неравенств: $3x - 5 \le 0$ и $6 - 5x \ge 0$.

Решим первое неравенство: $3x - 5 \le 0 \implies 3x \le 5 \implies x \le 5/3$. Множество его решений $M_1 = (-\infty, 5/3]$.

Решим второе неравенство: $6 - 5x \ge 0 \implies 6 \ge 5x \implies x \le 6/5$. Множество его решений $M_2 = (-\infty, 6/5]$.

Сравним дроби: $5/3 = 25/15$ и $6/5 = 18/15$. Так как $18/15 < 25/15$, то $6/5 < 5/3$. Следовательно, любой $x$, удовлетворяющий условию $x \le 6/5$, также удовлетворяет условию $x \le 5/3$. Таким образом, $M_2 \subset M_1$.

Следовательно, первое неравенство является следствием второго.

Ответ: Неравенство $3x - 5 \le 0$ является следствием неравенства $6 - 5x \ge 0$.

3) Рассмотрим пару неравенств: $|x| \ge 0$ и $x^2 > 0$.

Решим первое неравенство: $|x| \ge 0$. Модуль любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство верно для всех $x \in \mathbb{R}$. Множество решений $M_1 = (-\infty, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 > 0$. Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Он равен нулю только при $x=0$. Таким образом, неравенство верно для всех $x$, кроме $x=0$. Множество решений $M_2 = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Множество $M_2$ является подмножеством $M_1$, так как все действительные числа, кроме нуля, входят в множество всех действительных чисел: $M_2 \subset M_1$.

Следовательно, первое неравенство является следствием второго.

Ответ: Неравенство $|x| \ge 0$ является следствием неравенства $x^2 > 0$.

4) Рассмотрим пару неравенств: $|x + 3| < 0$ и $17x - 19 > 0$.

Решим первое неравенство: $|x + 3| < 0$. Модуль любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это неравенство не имеет решений. Множество решений $M_1 = \emptyset$.

Решим второе неравенство: $17x - 19 > 0 \implies 17x > 19 \implies x > 19/17$. Множество решений $M_2 = (19/17, +\infty)$.

Пустое множество является подмножеством любого множества, поэтому $M_1 \subset M_2$.

Следовательно, второе неравенство является следствием первого.

Ответ: Неравенство $17x - 19 > 0$ является следствием неравенства $|x + 3| < 0$.

5) Рассмотрим пару неравенств: $x + 1 \ge 0$ и $(x + 1)(x^2 + 1) > 0$.

Решим первое неравенство: $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$. Множество решений $M_1 = [-1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $(x + 1)(x^2 + 1) > 0$. Выражение $x^2 + 1$ всегда положительно для любого действительного $x$ (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$). Поэтому мы можем разделить обе части неравенства на $x^2 + 1$, не меняя знака. Получим равносильное неравенство $x + 1 > 0$, откуда $x > -1$. Множество решений $M_2 = (-1, +\infty)$.

Сравним множества. Интервал $(-1, +\infty)$ является подмножеством луча $[-1, +\infty)$, то есть $M_2 \subset M_1$.

Следовательно, первое неравенство является следствием второго.

Ответ: Неравенство $x + 1 \ge 0$ является следствием неравенства $(x + 1)(x^2 + 1) > 0$.

6) Рассмотрим пару неравенств: $x^2 + 2x + 1 > 0$ и $x + 1 > 0$.

Решим первое неравенство: $x^2 + 2x + 1 > 0$. Левая часть является полным квадратом: $(x + 1)^2 > 0$. Квадрат выражения положителен всегда, кроме случая, когда само выражение равно нулю. Таким образом, неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x+1=0$, то есть $x \ne -1$. Множество решений $M_1 = (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x + 1 > 0 \implies x > -1$. Множество решений $M_2 = (-1, +\infty)$.

Если $x > -1$, то $x$ автоматически не равен $-1$. Значит, любое решение второго неравенства является решением первого. Таким образом, $M_2 \subset M_1$.

Следовательно, первое неравенство является следствием второго.

Ответ: Неравенство $x^2 + 2x + 1 > 0$ является следствием неравенства $x + 1 > 0$.