Номер 10.35, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.35, страница 79.

Условие.

10.35. Постройте график функции:

1) $y = |x + 4|;$

2) $y = |x - 5| + 2;$

3) $y = |2x - 6| - x.$

Решение.

1) $y = |x + 4|$

График этой функции можно построить двумя способами.

Способ 1: Преобразование графика $y = |x|$.

График функции $y = |x + 4|$ получается из графика базовой функции $y = |x|$ путем его сдвига вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) на 4 единицы влево. Вершина графика $y = |x|$ находится в точке $(0, 0)$, следовательно, вершина графика $y = |x + 4|$ будет в точке $(-4, 0)$. Ветви графика направлены вверх.

Способ 2: Раскрытие модуля.

По определению абсолютной величины, $y = |x + 4|$ можно представить в виде кусочно-линейной функции:

$y = \begin{cases} x + 4, & \text{если } x + 4 \ge 0, \text{ то есть } x \ge -4 \\ -(x + 4), & \text{если } x + 4 < 0, \text{ то есть } x < -4 \end{cases}$

Таким образом, график состоит из двух лучей, выходящих из одной точки:

• Луча $y = x + 4$ на промежутке $[-4, +\infty)$.
• Луча $y = -x - 4$ на промежутке $(-\infty, -4)$.

Для построения найдем координаты нескольких точек:

• Вершина (точка излома): при $x = -4, y = |-4 + 4| = 0$. Точка $(-4, 0)$.
• Для $x > -4$, например $x = 0$: $y = 0 + 4 = 4$. Точка $(0, 4)$.
• Для $x < -4$, например $x = -5$: $y = -(-5) - 4 = 5 - 4 = 1$. Точка $(-5, 1)$.

Соединяем точку $(-4, 0)$ с точкой $(0, 4)$ и проводим луч дальше. Аналогично соединяем точку $(-4, 0)$ с точкой $(-5, 1)$ и проводим луч дальше.

Ответ: График функции — это график функции $y = |x|$, сдвинутый на 4 единицы влево по оси $Ox$. Он представляет собой два луча, выходящих из точки $(-4, 0)$, ветви направлены вверх.

2) $y = |x - 5| + 2$

График этой функции можно получить из графика $y = |x|$ с помощью последовательных преобразований:

1. Сдвиг графика $y = |x|$ на 5 единиц вправо вдоль оси $Ox$. Получаем график функции $y = |x - 5|$.
2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Получаем искомый график $y = |x - 5| + 2$.

Вершина графика $y = |x|$ находится в точке $(0, 0)$. После сдвига на 5 единиц вправо и 2 единицы вверх, вершина графика $y = |x - 5| + 2$ окажется в точке $(5, 2)$.

Также можно раскрыть модуль. Точка излома $x - 5 = 0 \implies x = 5$.

$y = \begin{cases} (x - 5) + 2, & \text{если } x \ge 5 \\ -(x - 5) + 2, & \text{если } x < 5 \end{cases} \implies y = \begin{cases} x - 3, & \text{если } x \ge 5 \\ -x + 7, & \text{если } x < 5 \end{cases}$

Найдем координаты точек для построения:

• Вершина: при $x = 5, y = |5 - 5| + 2 = 2$. Точка $(5, 2)$.
• Для $x > 5$, например $x = 7$: $y = 7 - 3 = 4$. Точка $(7, 4)$.
• Для $x < 5$, например $x = 3$: $y = -3 + 7 = 4$. Точка $(3, 4)$.

Ответ: График функции — это график функции $y = |x|$, сдвинутый на 5 единиц вправо по оси $Ox$ и на 2 единицы вверх по оси $Oy$. Вершина находится в точке $(5, 2)$, ветви направлены вверх.

3) $y = |2x - 6| - x$

Для построения графика этой функции необходимо раскрыть модуль. Найдем значение $x$, при котором выражение под модулем равно нулю: $2x - 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$. Эта точка делит числовую ось на два промежутка.

Рассмотрим два случая:

• Если $x \ge 3$, то $2x - 6 \ge 0$, и модуль раскрывается со знаком плюс: $|2x - 6| = 2x - 6$.
  Функция принимает вид: $y = (2x - 6) - x = x - 6$.
  На промежутке $[3, +\infty)$ строим график прямой $y = x - 6$.

• Если $x < 3$, то $2x - 6 < 0$, и модуль раскрывается со знаком минус: $|2x - 6| = -(2x - 6) = -2x + 6$.
  Функция принимает вид: $y = (-2x + 6) - x = -3x + 6$.
  На промежутке $(-\infty, 3)$ строим график прямой $y = -3x + 6$.

Найдем координаты ключевых точек для построения:

• Точка излома (вершина): $x = 3$. Подставим это значение в любое из полученных выражений: $y = 3 - 6 = -3$. Координаты точки излома $(3, -3)$.
• Для луча $y = x - 6$ (при $x \ge 3$) возьмем точку, например, $x=6$: $y = 6 - 6 = 0$. Точка $(6, 0)$.
• Для луча $y = -3x + 6$ (при $x < 3$) возьмем точку, например, $x=0$: $y = -3(0) + 6 = 6$. Точка $(0, 6)$.

Строим два луча, выходящих из точки $(3, -3)$: один проходит через точку $(6, 0)$, другой — через точку $(0, 6)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, исходящих из точки $(3, -3)$. Для $x < 3$ это луч $y = -3x + 6$, а для $x \ge 3$ это луч $y = x - 6$.