Номер 10.31, страница 78 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.31, страница 78.

Условие.

10.31. Найдите множество решений неравенства:

1) $|x| > 0;$

2) $|x| \le 0;$

3) $|x| < 0;$

4) $|x| > -2;$

5) $\left|\frac{1}{x}\right| > -2;$

6) $|x| > -|x-4|;$

7) $\left|\frac{1}{x}\right| > -|x|;$

8) $\frac{|x|}{x} < 1;$

9) $\frac{|x|}{x} \le 1;$

10)
$|x|+x > -x^2;$

11)
$|x|+x \le -x^2;$

12)
$|x|-x \le -x^2.$

Решение.

1) $|x| > 0$

Модуль числа является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Равенство $|x| = 0$ достигается только при $x = 0$. Следовательно, строгое неравенство $|x| > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) $|x| \le 0$

Поскольку модуль любого числа всегда неотрицателен ($|x| \ge 0$), данное неравенство может выполняться только в одном случае: когда $|x| = 0$. Это происходит только при $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

3) $|x| < 0$

Модуль любого действительного числа по определению является неотрицательной величиной ($|x| \ge 0$). Следовательно, не существует такого действительного числа $x$, для которого его модуль был бы отрицательным. Неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

4) $|x| > -2$

Модуль любого действительного числа $x$ является неотрицательным ($|x| \ge 0$). Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа, в данном случае -2. Таким образом, неравенство верно для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

5) $|\frac{1}{x}| > -2$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства: $x \ne 0$. Для любого $x$ из ОДЗ, выражение $|\frac{1}{x}|$ является неотрицательным. Поскольку любое неотрицательное число больше -2, неравенство выполняется для всех $x$ из ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

6) $|x| > -|x-4|$

Перепишем неравенство в виде $|x| + |x-4| > 0$. Выражение $|x|$ всегда неотрицательно ($|x| \ge 0$), и выражение $|x-4|$ также всегда неотрицательно ($|x-4| \ge 0$). Сумма двух неотрицательных чисел будет равна нулю только в том случае, если оба числа равны нулю одновременно. $|x|=0$ при $x=0$, а $|x-4|=0$ при $x=4$. Поскольку $x$ не может одновременно быть равным 0 и 4, сумма $|x| + |x-4|$ никогда не равна нулю. Она всегда строго больше нуля. Следовательно, неравенство верно для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

7) $|\frac{1}{x}| > -|x|$

ОДЗ: $x \ne 0$. Для любого $x \ne 0$, левая часть неравенства $|\frac{1}{x}|$ строго положительна. Правая часть неравенства $-|x|$ для любого $x \ne 0$ строго отрицательна (поскольку $|x|>0$). Положительное число всегда больше отрицательного, поэтому неравенство выполняется для всех $x$ из ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

8) $\frac{|x|}{x} < 1$

ОДЗ: $x \ne 0$. Рассмотрим два случая.
1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Неравенство принимает вид $\frac{x}{x} < 1$, то есть $1 < 1$. Это ложное утверждение, значит, при $x > 0$ решений нет.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Неравенство принимает вид $\frac{-x}{x} < 1$, то есть $-1 < 1$. Это истинное утверждение, значит, все $x < 0$ являются решениями.
Объединяя результаты, получаем множество решений.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

9) $\frac{|x|}{x} \le 1$

ОДЗ: $x \ne 0$. Рассмотрим два случая.
1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Неравенство принимает вид $\frac{x}{x} \le 1$, то есть $1 \le 1$. Это истинное утверждение, значит, все $x > 0$ являются решениями.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Неравенство принимает вид $\frac{-x}{x} \le 1$, то есть $-1 \le 1$. Это истинное утверждение, значит, все $x < 0$ являются решениями.
Таким образом, неравенство выполняется для всех $x$ из ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

10) $|x| + x > -x^2$

Перенесем все члены в левую часть: $|x| + x + x^2 > 0$. Рассмотрим два случая.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Неравенство принимает вид $x + x + x^2 > 0 \implies x^2 + 2x > 0 \implies x(x+2) > 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$. Учитывая условие $x \ge 0$, получаем $x \in (0; +\infty)$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Неравенство принимает вид $-x + x + x^2 > 0 \implies x^2 > 0$. Это верно для всех $x \ne 0$. Учитывая условие $x < 0$, получаем $x \in (-\infty; 0)$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

11) $|x| + x \le -x^2$

Перенесем все члены в левую часть: $|x| + x + x^2 \le 0$. Рассмотрим два случая.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Неравенство принимает вид $x + x + x^2 \le 0 \implies x^2 + 2x \le 0 \implies x(x+2) \le 0$. Решением этого неравенства является $x \in [-2; 0]$. Учитывая условие $x \ge 0$, получаем $x = 0$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Неравенство принимает вид $-x + x + x^2 \le 0 \implies x^2 \le 0$. Единственное решение этого неравенства — $x=0$. Однако это не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому в этом случае решений нет.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем $x=0$.

Ответ: $x = 0$.

12) $|x| - x \le -x^2$

Перенесем все члены в левую часть: $|x| - x + x^2 \le 0$. Рассмотрим два случая.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Неравенство принимает вид $x - x + x^2 \le 0 \implies x^2 \le 0$. Единственное решение этого неравенства — $x = 0$. Это решение удовлетворяет условию $x \ge 0$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Неравенство принимает вид $-x - x + x^2 \le 0 \implies x^2 - 2x \le 0 \implies x(x-2) \le 0$. Решением этого неравенства является $x \in [0; 2]$. Однако эти решения не удовлетворяют условию $x < 0$, поэтому в этом случае решений нет.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем $x=0$.

Ответ: $x = 0$.