Номер 10.24, страница 78 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.24, страница 78.

Условие.

10.24. При каких значениях $y$ верно равенство:

1) $\frac{|y+7|}{y+7}=1;$

2) $\frac{|6-y|}{y-6}=1?$

Решение.

1)

Рассмотрим равенство $\frac{|y+7|}{y+7} = 1$.

Это равенство представляет собой дробь, равную единице. Это возможно только в том случае, если числитель равен знаменателю, и оба они не равны нулю.

Таким образом, должно выполняться условие: $|y+7| = y+7$.

По определению абсолютной величины (модуля), равенство $|a| = a$ верно тогда и только тогда, когда $a \ge 0$.

Применительно к нашему случаю, это означает, что выражение под знаком модуля должно быть неотрицательным:

$y+7 \ge 0$

Кроме того, в исходном равенстве выражение $y+7$ находится в знаменателе, а на ноль делить нельзя. Поэтому мы должны исключить случай, когда знаменатель равен нулю:

$y+7 \neq 0 \implies y \neq -7$

Объединяя оба условия ($y+7 \ge 0$ и $y+7 \neq 0$), мы получаем строгое неравенство:

$y+7 > 0$

Решая это неравенство, находим:

$y > -7$

Ответ: $y > -7$.

2)

Рассмотрим равенство $\frac{|6-y|}{y-6} = 1$.

Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$y-6 \neq 0 \implies y \neq 6$

Для того чтобы дробь была равна 1, ее числитель должен быть равен знаменателю:

$|6-y| = y-6$

Равенство вида $|a|=b$ выполняется, когда $b \ge 0$ и ($a=b$ или $a=-b$). В нашем случае $a=6-y$ и $b=y-6$.

Проверим условие $b \ge 0$:

$y-6 \ge 0 \implies y \ge 6$

С учетом ОДЗ ($y \neq 6$), получаем строгое неравенство $y > 6$.

Теперь рассмотрим само равенство при условии $y > 6$. Если $y > 6$, то выражение под знаком модуля $6-y$ будет отрицательным (например, если $y=7$, то $6-7=-1$).

По определению модуля, для любого отрицательного числа $|x|=-x$. Следовательно:

$|6-y| = -(6-y) = -6+y = y-6$

Подставим это в наше равенство $|6-y| = y-6$:

$y-6 = y-6$

Это тождество, верное для всех значений $y$, при которых оно было получено, то есть при $y > 6$.

Таким образом, исходное равенство верно для всех значений $y$, строго больших 6.

Ответ: $y > 6$.