Номер 10.19, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.19, страница 77.

Условие.

10.19. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) $7(x+2) - 3(x-8) < 10$;

2) $(x-4)(x+4) - 5x > (x-1)^2 - 17.$

Решение.

1)

Решим неравенство $7(x + 2) - 3(x - 8) < 10$.

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$7 \cdot x + 7 \cdot 2 - 3 \cdot x - 3 \cdot (-8) < 10$

$7x + 14 - 3x + 24 < 10$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(7x - 3x) + (14 + 24) < 10$

$4x + 38 < 10$

Перенесем число 38 в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:

$4x < 10 - 38$

$4x < -28$

Разделим обе части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x < \frac{-28}{4}$

$x < -7$

Решением неравенства являются все числа, строго меньшие -7. Множество целых решений: $\{..., -10, -9, -8\}$. Наибольшее целое число из этого множества — это -8.

Ответ: -8

2)

Решим неравенство $(x - 4)(x + 4) - 5x > (x - 1)^2 - 17$.

Раскроем скобки и упростим обе части неравенства. В левой части используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, а в правой — формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x^2 - 4^2) - 5x > (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 17$

$x^2 - 16 - 5x > x^2 - 2x + 1 - 17$

Упростим правую часть:

$x^2 - 5x - 16 > x^2 - 2x - 16$

Перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числа — в правую. Слагаемое $x^2$ и число -16 присутствуют в обеих частях, поэтому они взаимно уничтожаются при переносе.

$-5x > -2x$

Перенесем $-2x$ в левую часть с противоположным знаком:

$-5x + 2x > 0$

$-3x > 0$

Разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $>$ на $<$):

$x < \frac{0}{-3}$

$x < 0$

Решением неравенства являются все числа, строго меньшие 0. Множество целых решений: $\{..., -3, -2, -1\}$. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это -1.

Ответ: -1