Номер 10.15, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.15, страница 77.

Условие.

10.15. Решите неравенство:

1) $\frac{2x}{3} - \frac{3x}{4} \ge \frac{1}{6};$

2) $\frac{5x}{7} - x > -4;$

3) $\frac{x}{8} - \frac{1}{4} \le x.$

Решение.

1) $\frac{2x}{3} - \frac{3x}{4} \ge \frac{1}{6}$

Чтобы решить неравенство, сначала избавимся от дробных коэффициентов. Для этого умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4 и 6. Наименьшее общее кратное этих чисел — 12. Так как 12 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$12 \cdot (\frac{2x}{3} - \frac{3x}{4}) \ge 12 \cdot \frac{1}{6}$

Раскроем скобки:

$\frac{12 \cdot 2x}{3} - \frac{12 \cdot 3x}{4} \ge \frac{12}{6}$

$4 \cdot 2x - 3 \cdot 3x \ge 2$

$8x - 9x \ge 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-x \ge 2$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -1. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le -2$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty; -2]$.

Ответ: $(-\infty; -2]$.

2) $\frac{5x}{7} - x > -4$

Приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю 7:

$\frac{5x}{7} - \frac{7x}{7} > -4$

$\frac{5x - 7x}{7} > -4$

$\frac{-2x}{7} > -4$

Умножим обе части неравенства на 7. Так как 7 > 0, знак неравенства сохраняется:

$-2x > -28$

Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-28}{-2}$

$x < 14$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty; 14)$.

Ответ: $(-\infty; 14)$.

3) $\frac{x}{8} - \frac{1}{4} \le x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$\frac{x}{8} - x \le \frac{1}{4}$

Приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю 8:

$\frac{x}{8} - \frac{8x}{8} \le \frac{1}{4}$

$\frac{x - 8x}{8} \le \frac{1}{4}$

$\frac{-7x}{8} \le \frac{1}{4}$

Умножим обе части неравенства на 8. Так как 8 > 0, знак неравенства не меняется:

$-7x \le \frac{8}{4}$

$-7x \le 2$

Разделим обе части неравенства на -7. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge \frac{2}{-7}$

$x \ge -\frac{2}{7}$

Решением неравенства является промежуток $[-\frac{2}{7}; +\infty)$.

Ответ: $[-\frac{2}{7}; +\infty)$.