Номер 10.20, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.20, страница 77.

Условие.

10.20. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) $\frac{4x+13}{10} - \frac{5+2x}{4} > \frac{6-7x}{20} - 2;$

2) $(x-1)(x+1) - (x-4)(x+2) \ge 0.$

Решение.

1) $ \frac{4x + 13}{10} - \frac{5 + 2x}{4} > \frac{6 - 7x}{20} - 2 $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 10, 4 и 20. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 20.

$ 20 \cdot \left( \frac{4x + 13}{10} - \frac{5 + 2x}{4} \right) > 20 \cdot \left( \frac{6 - 7x}{20} - 2 \right) $

$ \frac{20(4x + 13)}{10} - \frac{20(5 + 2x)}{4} > \frac{20(6 - 7x)}{20} - 20 \cdot 2 $

Сократим дроби:

$ 2(4x + 13) - 5(5 + 2x) > 1(6 - 7x) - 40 $

Раскроем скобки:

$ 8x + 26 - 25 - 10x > 6 - 7x - 40 $

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$ -2x + 1 > -7x - 34 $

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$ -2x + 7x > -34 - 1 $

$ 5x > -35 $

Разделим обе части на 5 (знак неравенства не меняется):

$ x > \frac{-35}{5} $

$ x > -7 $

Решением неравенства являются все числа, большие -7. Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это -6.

Ответ: -6

2) $ (x - 1)(x + 1) - (x - 4)(x + 2) \ge 0 $

Раскроем скобки. Для первой пары скобок используем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $. Для второй пары скобок выполним умножение многочленов.

$ (x^2 - 1^2) - (x^2 + 2x - 4x - 8) \ge 0 $

$ (x^2 - 1) - (x^2 - 2x - 8) \ge 0 $

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:

$ x^2 - 1 - x^2 + 2x + 8 \ge 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (x^2 - x^2) + 2x + (-1 + 8) \ge 0 $

$ 2x + 7 \ge 0 $

Перенесем число 7 в правую часть с противоположным знаком:

$ 2x \ge -7 $

Разделим обе части на 2:

$ x \ge -\frac{7}{2} $

$ x \ge -3.5 $

Решением неравенства являются все числа, большие или равные -3.5. Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это -3.

Ответ: -3