Номер 10.18, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.18, страница 77.

Условие.

10.18. Найдите множество решений неравенства:

1) $ (2 - y)(3 + y) \le (4 + y)(6 - y); $

2) $ \frac{y - 1}{2} - \frac{2y + 1}{8} - y < 2. $

Решение.

1) $(2 - y)(3 + y) \le (4 + y)(6 - y)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства, используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого):

Левая часть: $(2 - y)(3 + y) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot y - y \cdot 3 - y \cdot y = 6 + 2y - 3y - y^2 = 6 - y - y^2$.

Правая часть: $(4 + y)(6 - y) = 4 \cdot 6 - 4 \cdot y + y \cdot 6 - y \cdot y = 24 - 4y + 6y - y^2 = 24 + 2y - y^2$.

Подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$6 - y - y^2 \le 24 + 2y - y^2$

Теперь упростим неравенство. Прибавим к обеим частям $y^2$, чтобы избавиться от квадратичных членов:

$6 - y - y^2 + y^2 \le 24 + 2y - y^2 + y^2$

$6 - y \le 24 + 2y$

Перенесем все слагаемые с переменной $y$ в одну сторону (например, вправо), а постоянные члены — в другую (влево):

$6 - 24 \le 2y + y$

$-18 \le 3y$

Чтобы найти $y$, разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$\frac{-18}{3} \le y$

$-6 \le y$

Это неравенство можно записать как $y \ge -6$. Множеством решений является числовой промежуток от -6, включая -6, до плюс бесконечности.

Ответ: $y \in [-6, +\infty)$.

2) $\frac{y - 1}{2} - \frac{2y + 1}{8} - y < 2$

Для решения этого дробного неравенства избавимся от знаменателей. Для этого найдем наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{y-1}{2}$ и $\frac{2y+1}{8}$. Это число 8. Умножим обе части неравенства на 8. Так как 8 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$8 \cdot \left( \frac{y - 1}{2} - \frac{2y + 1}{8} - y \right) < 8 \cdot 2$

$8 \cdot \frac{y - 1}{2} - 8 \cdot \frac{2y + 1}{8} - 8 \cdot y < 16$

$4(y - 1) - (2y + 1) - 8y < 16$

Теперь раскроем скобки:

$4y - 4 - 2y - 1 - 8y < 16$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:

$(4y - 2y - 8y) + (-4 - 1) < 16$

$-6y - 5 < 16$

Перенесем постоянный член -5 в правую часть с противоположным знаком:

$-6y < 16 + 5$

$-6y < 21$

Чтобы найти $y$, разделим обе части неравенства на -6. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с "<" на ">"):

$y > \frac{21}{-6}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$y > -\frac{7}{2}$

Это неравенство можно также записать в виде десятичной дроби: $y > -3,5$. Множеством решений является интервал от -3,5 до плюс бесконечности.

Ответ: $y \in (-\frac{7}{2}, +\infty)$.