Номер 10.25, страница 78 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.25, страница 78.

Условие.

10.25. Турист проплыл на лодке некоторое расстояние по течению реки, а потом вернулся назад, потратив на всё путешествие не более 5 ч. Скорость лодки в стоячей воде равна 5 км/ч, а скорость течения — 1 км/ч. Какое наибольшее расстояние мог проплыть турист по течению реки?

Решение.

Пусть $S$ (в км) — искомое наибольшее расстояние, которое турист мог проплыть по течению реки.

Собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) равна $v_{с} = 5$ км/ч, а скорость течения реки $v_{т} = 1$ км/ч.

Скорость лодки при движении по течению реки равна сумме собственной скорости и скорости течения:
$v_{по} = v_{с} + v_{т} = 5 + 1 = 6$ км/ч.

Скорость лодки при движении против течения реки равна разности собственной скорости и скорости течения:
$v_{против} = v_{с} - v_{т} = 5 - 1 = 4$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению на расстояние $S$, составляет $t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{S}{6}$ ч.

Время, затраченное на обратный путь против течения на то же расстояние $S$, составляет $t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{S}{4}$ ч.

Общее время в пути $T$ равно сумме времени движения по течению и против течения: $T = t_{по} + t_{против}$. По условию, общее время не превышает 5 часов, то есть $T \le 5$ ч. Составим и решим неравенство:
$\frac{S}{6} + \frac{S}{4} \le 5$

Чтобы решить неравенство, приведем дроби в левой части к общему знаменателю, который равен 12:
$\frac{2 \cdot S}{12} + \frac{3 \cdot S}{12} \le 5$
$\frac{2S + 3S}{12} \le 5$
$\frac{5S}{12} \le 5$

Теперь умножим обе части неравенства на 12, чтобы избавиться от знаменателя:
$5S \le 5 \cdot 12$
$5S \le 60$

Разделим обе части неравенства на 5:
$S \le \frac{60}{5}$
$S \le 12$

Из решения неравенства следует, что расстояние $S$ не может превышать 12 км. Следовательно, наибольшее расстояние, которое мог проплыть турист по течению реки, составляет 12 км.

Ответ: 12 км.