Номер 10.17, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.17, страница 77.

Условие.

10.17. Найдите множество решений неравенства:

1) $3 - 5(2x + 4) \ge 7 - 2x;$

2) $\frac{2x - 1}{4} \ge \frac{3x - 5}{5};$

3) $(x - 5)(x + 1) \le 3 + (x - 2)^2;$

4) $\frac{x + 1}{2} - \frac{x - 3}{3} > 2 + \frac{x}{6};$

5) $(6x - 1)^2 - 4x(9x - 3) \le 1;$

6) $\frac{x - 3}{9} - \frac{x + 4}{4} > \frac{x - 8}{6}.$

Решение.

1) $3 - 5(2x + 4) \geq 7 - 2x$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$3 - 10x - 20 \geq 7 - 2x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-17 - 10x \geq 7 - 2x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$-10x + 2x \geq 7 + 17$

$-8x \geq 24$

Разделим обе части неравенства на $-8$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \leq \frac{24}{-8}$

$x \leq -3$

Множество решений представляет собой числовой промежуток $(-\infty, -3]$.

Ответ: $(-\infty, -3]$.

2) $\frac{2x - 1}{4} \geq \frac{3x - 5}{5}$

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей, то есть на $НОК(4, 5) = 20$, чтобы избавиться от дробей:

$20 \cdot \frac{2x - 1}{4} \geq 20 \cdot \frac{3x - 5}{5}$

$5(2x - 1) \geq 4(3x - 5)$

Раскроем скобки:

$10x - 5 \geq 12x - 20$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$-5 + 20 \geq 12x - 10x$

$15 \geq 2x$

Разделим обе части на $2$:

$7,5 \geq x$, или $x \leq 7,5$

Множество решений представляет собой числовой промежуток $(-\infty, 7,5]$.

Ответ: $(-\infty, 7,5]$.

3) $(x - 5)(x + 1) \leq 3 + (x - 2)^2$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части перемножим многочлены, в правой — применим формулу квадрата разности:

$x^2 + x - 5x - 5 \leq 3 + (x^2 - 4x + 4)$

$x^2 - 4x - 5 \leq 3 + x^2 - 4x + 4$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$x^2 - 4x - 5 \leq x^2 - 4x + 7$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 4x - 5 - x^2 + 4x - 7 \leq 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-12 \leq 0$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное неравенство верно при любом действительном значении $x$.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

4) $\frac{x + 1}{2} - \frac{x - 3}{3} > 2 + \frac{x}{6}$

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей $НОК(2, 3, 6) = 6$:

$6 \cdot \frac{x + 1}{2} - 6 \cdot \frac{x - 3}{3} > 6 \cdot 2 + 6 \cdot \frac{x}{6}$

$3(x + 1) - 2(x - 3) > 12 + x$

Раскроем скобки:

$3x + 3 - 2x + 6 > 12 + x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x + 9 > 12 + x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:

$x - x > 12 - 9$

$0 > 3$

Мы получили неверное числовое неравенство. Это означает, что неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$.

5) $(6x - 1)^2 - 4x(9x - 3) \leq 1$

Раскроем скобки в левой части. Используем формулу квадрата разности и распределительный закон:

$(36x^2 - 12x + 1) - (36x^2 - 12x) \leq 1$

$36x^2 - 12x + 1 - 36x^2 + 12x \leq 1$

Приведем подобные слагаемые:

$1 \leq 1$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное неравенство верно при любом действительном значении $x$.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

6) $\frac{x - 3}{9} - \frac{x + 4}{4} > \frac{x - 8}{6}$

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей $НОК(9, 4, 6) = 36$. Умножим обе части неравенства на $36$:

$36 \cdot \frac{x - 3}{9} - 36 \cdot \frac{x + 4}{4} > 36 \cdot \frac{x - 8}{6}$

$4(x - 3) - 9(x + 4) > 6(x - 8)$

Раскроем скобки:

$4x - 12 - 9x - 36 > 6x - 48$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-5x - 48 > 6x - 48$

Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а свободные члены — в левую:

$-48 + 48 > 6x + 5x$

$0 > 11x$

Разделим обе части на $11$:

$0 > x$, или $x < 0$

Множество решений представляет собой числовой промежуток $(-\infty, 0)$.

Ответ: $(-\infty, 0)$.