Номер 11.4, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.4, страница 86.

Условие.

11.4. Известно, что $a < b < c < d$. Какой из данных промежутков является пересечением промежутков $(a; c)$ и $(b; d)$?

1) $(a; d)$; 2) $(b; c)$; 3) $(c; d)$; 4) $(a; b)$?

Решение.

По условию задачи дано неравенство $a < b < c < d$. Необходимо найти пересечение двух открытых промежутков (интервалов): $(a; c)$ и $(b; d)$.

Пересечение промежутков, обозначаемое как $(a; c) \cap (b; d)$, представляет собой множество всех чисел $x$, которые принадлежат одновременно и первому, и второму промежутку.

Это можно выразить с помощью системы неравенств: $$ \begin{cases} a < x < c \\ b < x < d \end{cases} $$

Для того чтобы число $x$ удовлетворяло этой системе, оно должно быть одновременно:
1) больше $a$ и больше $b$;
2) меньше $c$ и меньше $d$.

Рассмотрим эти условия по отдельности, используя данное нам неравенство $a < b < c < d$:

• Из двух условий для нижней границы ($x > a$ и $x > b$), более строгим является $x > b$, поскольку по условию $a < b$. Если число больше $b$, оно автоматически будет больше $a$.
• Из двух условий для верхней границы ($x < c$ и $x < d$), более строгим является $x < c$, поскольку по условию $c < d$. Если число меньше $c$, оно автоматически будет меньше $d$.

Таким образом, искомое множество чисел $x$ должно удовлетворять двойному неравенству: $b < x < c$.

Это неравенство определяет промежуток $(b; c)$. Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту под номером 2.

2) (b; c)
Пересечением промежутков $(a; c)$ и $(b; d)$ при заданном условии $a < b < c < d$ является промежуток $(b; c)$.
Ответ: $(b; c)$