Номер 11.15, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.15, страница 87.

Условие.

11.15. Решите неравенство:

1) $-3 < \frac{2x-5}{2} < 4$;

2) $-4 \le 1 - \frac{x-2}{3} \le -3.$

Решение.

1)

Решим двойное неравенство $-3 < \frac{2x - 5}{2} < 4$.

Наша цель — изолировать переменную $x$ в центральной части неравенства, выполняя одинаковые операции над всеми тремя частями.

1. Умножим все части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя в средней части:

$-3 \cdot 2 < \left(\frac{2x - 5}{2}\right) \cdot 2 < 4 \cdot 2$

$-6 < 2x - 5 < 8$

2. Теперь прибавим 5 ко всем частям неравенства, чтобы в средней части остался только член с $x$:

$-6 + 5 < 2x - 5 + 5 < 8 + 5$

$-1 < 2x < 13$

3. Наконец, разделим все части неравенства на 2, чтобы найти значение $x$:

$\frac{-1}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{13}{2}$

$-0.5 < x < 6.5$

Решением является интервал, в который входят все числа, большие -0.5 и меньшие 6.5.

Ответ: $x \in (-0.5; 6.5)$

2)

Решим двойное неравенство $-4 \le 1 - \frac{x - 2}{3} \le -3$.

Выполним последовательные преобразования для всех частей неравенства, чтобы найти $x$.

1. Вычтем 1 из всех частей неравенства, чтобы изолировать дробь:

$-4 - 1 \le 1 - 1 - \frac{x - 2}{3} \le -3 - 1$

$-5 \le -\frac{x - 2}{3} \le -4$

2. Умножим все части на -1. Важно помнить, что при умножении или делении неравенства на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:

$-5 \cdot (-1) \ge -\frac{x - 2}{3} \cdot (-1) \ge -4 \cdot (-1)$

$5 \ge \frac{x - 2}{3} \ge 4$

3. Для удобства восприятия перепишем неравенство в стандартном виде, от меньшего числа к большему:

$4 \le \frac{x - 2}{3} \le 5$

4. Умножим все части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$4 \cdot 3 \le \left(\frac{x - 2}{3}\right) \cdot 3 \le 5 \cdot 3$

$12 \le x - 2 \le 15$

5. Прибавим 2 ко всем частям, чтобы найти $x$:

$12 + 2 \le x - 2 + 2 \le 15 + 2$

$14 \le x \le 17$

Решением является отрезок, включающий все числа от 14 до 17 включительно.

Ответ: $x \in [14; 17]$