Номер 11.19, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.19, страница 88.

Условие.

11.19. Решите совокупность неравенств:

1) $\left[ \begin{array}{l} x < 1, \\ x > 3; \end{array} \right.$

2) $\left[ \begin{array}{l} x < 1, \\ x < 3; \end{array} \right.$

3) $\left[ \begin{array}{l} x > 1, \\ x > 3; \end{array} \right.$

4) $\left[ \begin{array}{l} x > 1, \\ x < 3. \end{array} \right.$

Решение.

1) Решим совокупность неравенств: $ \left[ \begin{array}{l} x < 1, \\ x > 3. \end{array} \right. $
Решение совокупности неравенств представляет собой объединение множеств решений каждого из неравенств.
Решением первого неравенства $x < 1$ является числовой промежуток $(-\infty; 1)$.
Решением второго неравенства $x > 3$ является числовой промежуток $(3; +\infty)$.
Объединение этих двух промежутков и является решением совокупности.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

2) Решим совокупность неравенств: $ \left[ \begin{array}{l} x < 1, \\ x < 3. \end{array} \right. $
Мы ищем объединение множеств решений неравенств $x < 1$ и $x < 3$.
Множество решений первого неравенства — это интервал $(-\infty; 1)$.
Множество решений второго неравенства — это интервал $(-\infty; 3)$.
Поскольку любое число, которое меньше 1, также меньше 3, то множество $(-\infty; 1)$ является подмножеством множества $(-\infty; 3)$. Объединением этих двух множеств будет большее из них.
Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

3) Решим совокупность неравенств: $ \left[ \begin{array}{l} x > 1, \\ x > 3. \end{array} \right. $
Мы ищем объединение множеств решений неравенств $x > 1$ и $x > 3$.
Множество решений первого неравенства — это интервал $(1; +\infty)$.
Множество решений второго неравенства — это интервал $(3; +\infty)$.
Поскольку любое число, которое больше 3, также больше 1, то множество $(3; +\infty)$ является подмножеством множества $(1; +\infty)$. Объединением этих двух множеств будет большее из них.
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

4) Решим совокупность неравенств: $ \left[ \begin{array}{l} x > 1, \\ x < 3. \end{array} \right. $
Мы ищем объединение множеств решений неравенств $x > 1$ и $x < 3$.
Множество решений первого неравенства — это интервал $(1; +\infty)$.
Множество решений второго неравенства — это интервал $(-\infty; 3)$.
Объединение этих двух множеств, $(-\infty; 3) \cup (1; +\infty)$, покрывает всю числовую прямую. Любое действительное число удовлетворяет хотя бы одному из этих условий (либо меньше 3, либо больше 1). Таким образом, решением является множество всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.