Номер 11.20, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.20, страница 88.

Условие.

11.20. Решите совокупность неравенств:

1) $ \left[ \begin{array}{l} x \le 7, \\ x < 7; \end{array} \right.$

2) $ \left[ \begin{array}{l} x \le 7, \\ x > 7; \end{array} \right.$

3) $ \left[ \begin{array}{l} x \ge 7, \\ x > 7; \end{array} \right.$

4) $ \left[ \begin{array}{l} x > 7, \\ x < 7. \end{array} \right.$

Решение.

1) Решением совокупности неравенств является объединение множеств решений каждого из неравенств. Совокупность состоит из неравенств $x \le 7$ и $x < 7$.
Множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty, 7]$.
Множество решений второго неравенства: $x \in (-\infty, 7)$.
Объединение этих множеств $(-\infty, 7] \cup (-\infty, 7)$ равно большему из них, так как одно множество является подмножеством другого.
Следовательно, решением совокупности является $x \le 7$.
Ответ: $x \le 7$.

2) Совокупность состоит из неравенств $x \le 7$ и $x > 7$.
Решение первого неравенства — это множество всех чисел, меньших или равных 7, то есть промежуток $(-\infty, 7]$.
Решение второго неравенства — это множество всех чисел, строго больших 7, то есть промежуток $(7, \infty)$.
Объединение этих двух множеств, $(-\infty, 7] \cup (7, \infty)$, покрывает всю числовую прямую.
Таким образом, решением совокупности является любое действительное число.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

3) Данная совокупность состоит из неравенств $x \ge 7$ и $x > 7$.
Множество решений первого неравенства: $x \in [7, \infty)$.
Множество решений второго неравенства: $x \in (7, \infty)$.
Объединение этих множеств $[7, \infty) \cup (7, \infty)$ равно $[7, \infty)$, так как второе множество является подмножеством первого.
Следовательно, решением совокупности является $x \ge 7$.
Ответ: $x \ge 7$.

4) Совокупность состоит из неравенств $x > 7$ и $x < 7$.
Решением первого неравенства является промежуток $(7, \infty)$.
Решением второго неравенства является промежуток $(-\infty, 7)$.
Объединение этих двух множеств, $(-\infty, 7) \cup (7, \infty)$, представляет собой все действительные числа, за исключением числа 7.
Это можно записать как $x \ne 7$.
Ответ: $x \ne 7$.