Номер 11.21, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.21, страница 88.

Условие.

11.21. Решите совокупность неравенств:

1) $ \left\{ \begin{array}{l} 1 < x < 2, \\ x \ge 2; \end{array} \right. $

2) $ \left\{ \begin{array}{l} 1 < x < 2, \\ x \le 1; \end{array} \right. $

3) $ \left\{ \begin{array}{l} 1 < x < 2, \\ x \ge 1; \end{array} \right. $

4) $ \left\{ \begin{array}{l} 1 < x < 2, \\ x \le 2. \end{array} \right. $

Решение.

Совокупность неравенств, обозначаемая квадратной скобкой, решается путем нахождения объединения множеств решений каждого неравенства, входящего в совокупность.

1) Дана совокупность неравенств: $ \left[ \begin{aligned} & 1 < x < 2, \\ & x \ge 2. \end{aligned} \right. $
Решением первого неравенства является интервал $x \in (1, 2)$.
Решением второго неравенства является луч $x \in [2, +\infty)$.
Объединение этих множеств $(1, 2) \cup [2, +\infty)$ включает в себя все числа, которые строго больше 1, но меньше 2, а также число 2 и все числа, которые больше 2. В результате получаем все числа, строго большие 1.
Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

2) Дана совокупность неравенств: $ \left[ \begin{aligned} & 1 < x < 2, \\ & x \le 1. \end{aligned} \right. $
Решением первого неравенства является интервал $x \in (1, 2)$.
Решением второго неравенства является луч $x \in (-\infty, 1]$.
Объединение этих множеств $(-\infty, 1] \cup (1, 2)$ включает в себя число 1 и все числа, которые меньше 1, а также все числа между 1 и 2 (не включая 1 и 2). В результате получаем все числа, строго меньшие 2.
Ответ: $x \in (-\infty, 2)$.

3) Дана совокупность неравенств: $ \left[ \begin{aligned} & 1 < x < 2, \\ & x \ge 1. \end{aligned} \right. $
Решением первого неравенства является интервал $x \in (1, 2)$.
Решением второго неравенства является луч $x \in [1, +\infty)$.
Требуется найти объединение множеств $(1, 2) \cup [1, +\infty)$. Поскольку интервал $(1, 2)$ является подмножеством луча $[1, +\infty)$, их объединение будет равно большему множеству, то есть $[1, +\infty)$.
Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

4) Дана совокупность неравенств: $ \left[ \begin{aligned} & 1 < x < 2, \\ & x \le 2. \end{aligned} \right. $
Решением первого неравенства является интервал $x \in (1, 2)$.
Решением второго неравенства является луч $x \in (-\infty, 2]$.
Требуется найти объединение множеств $(1, 2) \cup (-\infty, 2]$. Поскольку интервал $(1, 2)$ является подмножеством луча $(-\infty, 2]$, их объединение будет равно большему множеству, то есть $(-\infty, 2]$.
Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.