Номер 11.26, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.26, страница 88.

Условие.

11.26. Решите неравенство:

1) $ \frac{x}{|x-1|} > 0 $;

2) $ \frac{x}{|x-1|} \ge 0 $.

Решение.

1) Решим неравенство $ \frac{x}{|x-1|} > 0 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x-1| \neq 0$, что означает $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.

По определению модуля, значение $|x-1|$ всегда неотрицательно. Так как мы уже установили, что $x \neq 1$, то знаменатель $|x-1|$ всегда строго положителен, то есть $|x-1| > 0$ для всех $x$ из ОДЗ.

Поскольку знаменатель дроби всегда положителен, знак всей дроби определяется знаком числителя. Таким образом, чтобы дробь была больше нуля, числитель должен быть больше нуля.

Получаем неравенство $x > 0$.

Объединим это условие с ОДЗ. Решением будет система: $ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $

Решение можно представить в виде объединения двух интервалов: $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

2) Решим неравенство $ \frac{x}{|x-1|} \ge 0 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) такая же, как и в предыдущем пункте: $x \neq 1$, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Знаменатель $|x-1|$ всегда строго положителен для всех $x$ из ОДЗ.

Неравенство является нестрогим, поэтому дробь может быть больше нуля или равна нулю.

• Дробь больше нуля, когда числитель $x > 0$.
• Дробь равна нулю, когда числитель $x = 0$.

Объединяя эти два случая, получаем, что числитель должен быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ. Решением будет система: $ \begin{cases} x \ge 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $

Это означает, что подходят все неотрицательные числа, кроме 1. Решение можно записать в виде объединения интервалов: $[0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

Ответ: $x \in [0, 1) \cup (1, +\infty)$.