Номер 11.32, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.32, страница 89.

Условие.

11.32. Для каждого значения параметра $a$ решите систему неравенств

$\begin{cases} x < -3, \\ x > a. \end{cases}$

Решение.

Данная система состоит из двух неравенств: $$ \begin{cases} x < -3, \\ x > a. \end{cases} $$ Решить систему — значит найти все значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Это эквивалентно нахождению пересечения множеств решений каждого неравенства, то есть пересечения интервалов $(-\infty; -3)$ и $(a; +\infty)$.

Результат зависит от взаимного расположения параметра $a$ и числа $-3$ на числовой оси. Проанализируем все возможные случаи.

1. Пусть $a \ge -3$.
В этом случае возможны две ситуации: $a = -3$ или $a > -3$.
Если $a = -3$, система принимает вид: $x < -3$ и $x > -3$. Не существует числа, которое было бы одновременно и больше, и меньше $-3$. Следовательно, решений нет.
Если $a > -3$, то любое решение второго неравенства ($x > a$) заведомо удовлетворяет условию $x > -3$. Однако, первое неравенство требует, чтобы $x < -3$. Невозможно одновременно удовлетворить условиям $x < -3$ и $x > -3$, поэтому система решений не имеет. Таким образом, при $a \ge -3$ у системы нет решений.

2. Пусть $a < -3$.
В этом случае число $a$ на числовой прямой расположено левее числа $-3$. Искомые значения $x$ должны быть одновременно больше $a$ и меньше $-3$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $a < x < -3$. Решением является интервал $(a; -3)$.

Суммируя полученные результаты, формулируем окончательный ответ.

Ответ: если $a < -3$, то $x \in (a; -3)$; если $a \ge -3$, то решений нет ($x \in \emptyset$).