Номер 11.33, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.33, страница 89.

Условие.

11.33. При каких значениях параметра $a$ множество решений системы неравенств $ \begin{cases} x \ge 7, \\ x < a \end{cases} $ содержит четыре целых решения?

Решение.

Решением данной системы неравенств является множество всех чисел $x$, удовлетворяющих одновременно двум условиям: $x \ge 7$ и $x < a$. Геометрически это представляет собой промежуток $[7; a)$.

По условию задачи, этот промежуток должен содержать ровно четыре целых числа. Поскольку $x \ge 7$, наименьшим целым решением является число 7. Перечислим четыре последовательных целых числа, начиная с 7:

• 7
• 8
• 9
• 10

Таким образом, множество целых решений системы должно быть $\{7, 8, 9, 10\}$.

Чтобы число 10 входило в промежуток решений $[7; a)$, оно должно удовлетворять неравенству $x < a$. Следовательно, должно выполняться условие $a > 10$.

В то же время, следующее целое число, 11, не должно входить в множество решений. Это означает, что для $x = 11$ неравенство $x < a$ не должно выполняться. Значит, должно быть верно $11 \ge a$, или $a \le 11$.

Объединим полученные условия для параметра $a$ в систему:

$\begin{cases} a > 10 \\ a \le 11 \end{cases}$

Решением этой системы является полуинтервал $(10; 11]$.

Ответ: $10 < a \le 11$.